Las matemáticas y el referéndum revocatorio en Venezuela del año 2004

La ley de Benford parece decirnos que en el fondo nada ocurre al azar. Por ejemplo, la asistencia a un acto político, la cantidad de votos que obtiene un candidato o la evolución de las preferencias electorales ocurren y evolucionan de acuerdo con leyes matemáticas.

Imagen:  Hugo Chávez (1954 - 2013), quien fuera presidente de Venezuela de 1999 hasta su muerte en 2013, se dirige a una multitud de afectos en un acto político en Caracas en el año 2006. 

Hace más de un siglo, en 1881, el matemático Simon Newcomb (1835 – 1909) se percató que en un viejo libro con tablas de logaritmos las páginas iniciales estaban más gastadas que las otras y que, incluso, el desgaste, iba en descenso a medida que se pasaban las páginas. La única explicación era que las personas tendían a usar más las primeras páginas que las otras.

¿Qué había en esas primeras páginas? Los logaritmos que comenzaban con 1. Entonces conjeturó que la ocurrencia de los números en cualquier cifra no es equiprobable sino que el 1 es el que más tiende a aparecer en la posición inicial. Me explico, si le dices, por ejemplo, a diez personas, que cada una escriba un número de tres dígitos, el 1 será el que más aparezca como el dígito inicial, le seguirá en frecuencia el 2, luego el 3 y así hasta el 9 que será el que menos tienda a aparecer. 

Newcomb estaba en lo cierto pero no le dio más importancia a esto. Hubo que esperar 57 años hasta que un físico que trabajaba para la empresa General Electric, llamado Frank Benford (1883 – 1948) se diera cuenta del fenómeno (él no conocía el trabajo de Newcomb). Dedujo entonces la ley cuya fórmula está en la imagen y que se conoce como Ley de Benford. (lo justo sería Ley de Newcomb-Benford).  También se le llama fenómeno del dígito principal.  

De izquierda a derecha: Simon Newcomb, astrónomo y matemático estadounidense de origen canadiense. Polímata, hizo grandes contribuciones a la astronomía. Hay una anécdota interesante. En 1903 quiso intentó demostrar matemáticamente que era imposible que un objeto más pesado que el aire volara. No lo consiguió y ese mismo año los hermanos Wright ensayaron con éxito el primer vuelo. Frank Benford , físico y electricista estadounidense. Siendo empleado en la General Electric dedujo la ley que lleva su nombre y cuya fórmula está a la derecha y que sirve para calcular el porcentaje de ocurrencia de un dígito (d) en el primer lugar de una cantidad, El del 1 es 100 multiplicado por el logaritmo de 1+1=2, es decir %= 100 × log(2) que es 30,1%. Entonces, en una lista de cantidades o de números, si el primero de los dígitos de cada cantidad es 1 en un 30% es probable que esos números no sean fraudulentos.   

La ley sirve para detectar posibles fraudes en pagos de impuestos, loterías y elecciones. Por ejemplo, si alguien trata de falsificar su declaración de impuesto sobre la renta, irremediablemente tendrá que inventar algún dato. Al hacer esto la tendencia es a utilizar demasiados números que comienzan por dígitos a mitad de la escala, 5, 6 ó 7 y pocos que empiezan por 1. Esto causaría una violación a la Ley de Benford. Es tan así que existe un reglamento del Departamento de Hacienda de EE.UU: Si en una lista de cifras más de la mitad no empiezan con 1, una computadora revisará la frecuencia de los otros dígitos. Por ejemplo, si el 3 aparece el 40% de las veces, en vez de un 12,5% que es lo habitual, según la Ley de Benford, es muy probable que la lista sea fraudulenta. 

Tal vez una empresa contrate a alguien para hacer una encuesta, la persona no la hace sino que lleva datos numéricos inventados. Esta ley puede determinar si eso fue así. Y también en algo más importante: elecciones;   ya que en ellas puede tomarse la cantidad de votos por un candidato en cada centro de votación y revisar si esa lista cumple con la Ley de Benford (el 1 debe aparecer como primer dígito alrededor de un 30%, el 2 debe hacerlo como como en un 17%, el 3 en un 12%... (Ver la tabla A de la imagen de abajo) Así que si alguien inventa una cantidad de votos para un candidato, tiende siempre a usar números que comienzan con 4, con 5 o con 6. Si los resultados muestran esta tendencia, o mejor, si muestran que la aparición del 1 como primer dígito no es bastante cercana al 30% es muy probable que haya habido fraude.   

¿Por qué la ocurrencia de aparición de cada dígito n en la primera posición de una cantidad se da de manera que parece seguir un patrón. En la tabla se indican los porcentajes. Por ejemplo, el 9 sólo tiene un 4,6% de probabilidad de aparecer en como primer dígito de una cantidad.  

La Universidad de Michigan, en el año 2009, usó la Ley de Benford para analizar las elecciones en Irán donde Ahmadinejad (En Irán) sacó el 63% de los votos. La Universidad concluyó que las desviaciones eran tan grandes que el fraude era obvio. 

En el año 2004 se hizo un referéndum revocatorio en Venezuela. Las opciones eran SI (Sí queremos que Hugo Chávez se vaya de la presidencia) y NO (No queremos que se vaya). Ganó el NO. La oposición venezolana cantó fraude y hasta se dieron curiosas explicaciones matemáticas. Unas más absurdas que otras. 

Pero lo que muy pocos saben es que el Centro Carter, que sirvió de observador en ese proceso, le pidió a la Universidad de Puerto Rico que analizara los resultados a la luz de la Ley de Benford. Así se hizo (Los resultados preliminares de este informe pueden verlo aquí: http://esdata.info/pdf/pericchi-torres.pdf)

En el informe ellos concluyen que posiblemente hubo fraude pero admiten que en las mesas auditadas y en aquellas donde la votación fue manual se cumple al pie de la letra la ley de Belford. Dicen que la ley no se cumple en aquellas que no fueron auditadas. Algo que para ellos es muy «curioso y extraño». 

Por otra parte muchos expertos opinan que la Ley de Belford no es aplicable a los procesos electorales masivos (Puedes ver un estudio aquí: http://www.scielo.org.mx/)

A manera de conclusión. 

Existen constantes matemáticas y físicas. Por ejemplo, g=9,8 m/seg^2... es una constante (aceleración de gravedad), también lo es 𝝅 (3,14...), y muchas más. Tomando todas esas constantes se ha determinado el porcentaje de aparición de cada dígito en el lugar inicial. En el gráfico siguiente, los segmentos verdes señalan la ley de Benford y los rojos señalan estos porcentajes. Observa cómo están muy próximos a la mencionada ley.  

Las constantes de la física y la matemática cumplen con la Ley de Benford. 

Esta ley matemática fue demostrada por el matemático estadounidense Ted Hill en el año 1995. Pero, aunque se tiene una idea de por qué se da, algunos de sus aspectos permanecen en el misterio. Es como si hubiera una única ley superior, que engloba todas las demás leyes de las matemáticas, en pocas palabras, la ley de Benford parece decirnos que en el fondo nada ocurre al azar. 

La ley de Benford fue usada por el personaje Charlie Eppes en la serie de TV estadounidense «Numbers» para resolver una serie de robos.

Puedes leer más en este enlace http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html (Está en inglés). 

Las serendipias... Quizás Platón tenía razón.

«Conviene que el hombre se dé cuenta de lo que le dicen las ideas, yendo de muchas sensaciones a aquello que se concentra en el pensamiento. Esto es, por cierto, la reminiscencia de lo que vio, en otro tiempo, nuestra alma, cuando caminaba junto con la divinidad [...] El varón, pues, que haga uso adecuado de tales recordatorios, iniciado en tales ceremonias perfectas, sólo él será perfecto. Apartado, así, de humanos menesteres y volcado a lo divino, es catalogado por la gente como perturbado, sin que ellos se den cuenta de que lo que está es entusiasmado».

Quien así se expresa es el filósofo Platón (427 a.C. - 347 a.C.) Su teoría de la reminiscencia  (anamnesis) puede resumirse en esta frase: aprender es recordar. Él opinaba que todas las personas saben todo lo que es posible saber pero que al nacer las olvidamos. Es que tanto él como Pitágoras, que vivió ciento cincuenta años antes, pensaban que nuestra alma tenía una existencia pre-terrenal, donde participaba de la divinidad y por lo tanto sabía todo, pero al encarnarse en un cuerpo físico todo se olvidaba), de modo que cuando aprendemos algo simplemente estamos recordando algo que ya sabíamos. 

Otros han dicho, sin ninguna base, claro está, que existe una especie de biblioteca universal, atemporal y en otro plano o dimensión, biblioteca a la que nuestra mente accede sin proponérselo (a través de sueños, por ejemplo). 

Por supuesto que todo esto son creencias y no hay manera de demostrar su verdad o su falsedad.

Lo cierto es que han habido descubrimientos inesperados, casi que les han llegado a sus autores como una revelación. En ciencia esto se conoce como serendipia(1). Ejemplos de serendipias son: La estructura de la molécula de benceno se descubrió por un sueño que tuvo el químico Friedrich Kekulé, quien tenía días tratando de hallar esa estructura. También Niels Bohr logró descubrir la configuración del átomo después de un sueño donde vio un modelo atómico. El llamado Principio de Arquímedes también puede catalogarse como una serendipia. 

Algunas de las muchas serendipias que abundan en la ciencia. De izquierda a derecha: El modelo atómico de Bohr fue producto de un sueño. El sistema de coordenadas cartesianas que sentó las bases de la matemática moderna le vino a Descartes como una inspiración mientras convalecía en su cama. Una extraña fórmula que da el valor de π. Ramanujan dijo que se la dictó una diosa mientras dormía. La complejidad para deducir una fórmula así, unida a su relativa sencillez nos lleva a pensar que o Ramanujan decía la verdad o su mente era realmente prodigiosa.  La estructura de la molécula del Benceno la obtuvo Kekuké un día que viajaba en autobús y se quedó dormida. Soñó con una serpiente que se mordía la cola y eso le dio la idea de la estructura: era cíclica. 

Hay un área del conocimiento donde son comunes las «revelaciones»: Las matemáticas. Ramanujan, por ejemplo, un gran matemático indio, decía que una diosa le revelaba en sueños los extraordinarios teoremas que él deducía. El plano cartesiano, base para el desarrollo posterior de la geometría analítica fue ideado por Descartes después de observar el revoloteo de una mosca en su habitación, y se imaginó la línea donde se une la pared con el piso y con la otra pared (una esquina) y dedujo que a través de una terna de puntos se podía dar la ubicación de la mosca en el espacio. La espiral de Ulam también es una serendipia. 

Les digo todo eso porque en mi caso me ha sucedido varias veces algo de lo cual me asombro. No es que me considere un genio, nada que ver, me asombro es de la capacidad de la mente humana, de cómo trabaja y especialmente de cómo podemos llegar a altos niveles a fuerza de práctica y de voluntad. Les cuento.

En geometría plana, son muchas las cosas que nos vienen desde la antigüedad. Prácticamente toda la geometría plana (euclidea) que se estudia actualmente es la misma que estudiaban en Atenas o en Alejandría hace dos mil años. Muy poco se ha descubierto desde entonces.

Actualmente escribo un libro de matemáticas y en el mismo, en el capítulo de geometría plana, aparece todo un apartado sobre la construcción de algunos polígonos con regla y compás. Esos métodos ya fueron inventados por los antiguos. Entonces me pregunté: ¿Qué puedo incluir que sea novedoso? Se me ocurrió esto: ¿Cómo inscribir un círculo dentro de un sector circular? Busqué en la internet a ver si ya existía algún procedimiento y mi búsqueda fue infructuosa (admito que busqué sólo en páginas en castellano). Entonces, con papel, lápiz, regla y compás comencé a dibujar para ver si hallaba ese método. 

El problema de inscribir un círculo en un sector circular se reduce a determinar el centro de ese círculo para que sea tangente a los radios y al lado curvo del sector. 

Lo primero que pensé fue que había que trazar las mediatrices de los radios y el punto donde se cortaran era el centro del círculo inscrito. Pero no fue así. Luego pensé que la solución era unir con un segmento los extremos de los radios, trazar la mediatriz de este segmento y el punto medio de la misma era el centro del círculo que estaba buscando. Aunque me estaba acercando a la solución (como luego verán) esta tampoco resultaba. Así estuve por un buen rato. Frustrado abandoné la tarea. En la noche, acostado en mi cama, ya relajado comencé a pensar nuevamente en el problema. Lo primero que hice fue visualizar un sector circular. De pronto, como si me lo dictaran comencé a ver la solución (o al menos eso creía). Me memoricé los pasos y al día siguiente lo comprobé con varios ejemplos (Queda pendiente su demostración) 

El procedimiento que casi me atrevo a asegurar que fue una serendipia paso a describirlo a continuación. 

1. Unimos los extremos de los radios del sector y trazamos su mediatriz (que llamaremos L1). Ésta pasará por el punto O (donde se unen los dos radios) y cortará al lado curvo del mismo en el punto P. Este paso también puede ser: Trazamos la bisectriz del ángulo interno del sector la cual corta al lado curvo en el punto P. Como ven es lo mismo, sólo que con la bisectriz nos ahorramos un paso. Este es el que muestra la siguiente imagen. 

El primer paso es trazar una bisectriz al ángulo interno del sector circular para obtener el punto P. Una bisectriz es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. El punto del círculo inscrito estará sobre esta bisectriz. 

2. Trazamos una perpendicular a L1 que pase por P. Es lo mismo que decir: Trazamos una tangente al lado curvo que pase por P. Llamaremos L2 a esta recta. 

Una tangente es una recta que toca a una curva en un sólo punto. En este caso el punto es P. 

3. Prolongamos los radios del sector hasta que cada uno se cruce con la recta L2 en los puntos Q y R. 

4. Ahora sólo basta hallar el círculo inscrito en el triángulo OQR. Para ello trazamos una bisectriz en cualquiera de los otros dos ángulos (En Q o en R, tú decides. Nosotros usaremos el ángulo en R). Esta bisectriz se cortará con la recta L1 en el punto I, que es el centro que estábamos buscando. 

El punto I es el incentro del triángulo OQR. Ese es el centro del círculo inscrito que estamos buscando.

5. Hacemos centro con el compás en I y trazamos un círculo que pase por P. Este es el círculo inscrito en el sector circular y creo que es el único círculo que puede inscribirse en el. En general, para cualquier sector circular la solución es única. 

Aquí está el círculo inscrito. Estimo que la solución es única.

Si el sector circular es un semicírculo el centro I del círculo inscrito es el punto medio del radio trazado perpendicularmente al diámetro que limita al sector. Puedes verlo en la siguiente figura. 

Un círculo inscrito en un semicírculo. 

Desconozco si existirá otra manera de resolverlo. Tampoco sé si esto ya se le ocurrió a alguien. Y no sé si accedí a esa biblioteca universal que algunos han hablado o es que tuve una vida anterior donde yo eso lo sabía o qué se yo... Lo que sí me pregunto es: ¿Tiene límites la mente humana?

(1) El término serendipia, del inglés “serendipity“, fue usado por primera vez por Horace Walpole en 1754, que lo sacó de un cuento tradicional persa llamado «Los tres príncipes de Serendip». En ese cuento, los protagonistas que eran príncipes de la isla de Sri Lanka (cuyo nombre en persa es Serendip), solucionaban sus problemas a través de extraordinarias casualidades.

El sorprendente número e

«¡Oh! qué número tan fascinante que aparece en las finanzas,

del cálculo de Newton y Leibniz ni hablar,

que ha encontrado en los logaritmos de Neper

su morada al ser su base natural.

Intrigante es el número (e),

que al elevarlo a la x su derivada permanece igual;

¡qué grandioso trascendental!»

La llamada constante de Euler que denotamos con la letra e no es tan fácil de definir como el número π . Una definición no muy completa es esta: «e es la base de los logaritmos naturales». Nosotros preferimos definirlo así: 

Número que con sólo tres decimales es 2,718. Veamos: 

Y así, mientras más alto sea n, más se acerca el valor del límite al número e. Por lo que se cumple: 

Vamos a demostrarlo.

Veamos la representación de una función de esta forma: y=e^x

Observa que y=e es una asíntota horizontal de la curva. ¿Por qué será? Porque e es el límite al cual tiende la función cuando x tiende a infinito.

El número e es irracional y trascendente. Se cree que es normal, pero no hay certeza de ello. (Un número irracional es normal cuando cada dígito de su parte decimal tiene la misma probabilidad de aparecer que cualquier otro dígito). 

El número e suele estar presente en modelos que implican cambios, generalmente cambios continuos, aunque también aparece en problemas de probabilidad. Por otra parte, entre las curiosas propiedades de la función exponencial definida como y=e^x es que ella es su propia derivada, es decir, la tasa de variación de la función en x es igual al valor de la función en x. En la siguiente gráfica aparece la función exponencial y su inversa: la función logaritmo natural (y=lnx)

Vamos a demostrar que la derivada de la función y=e^x es ella misma. 

Tres problemas donde aparece el número e. 

Interés Compuesto. 

Imagina que depositas una cantidad P en una cuenta. El interés es de 20% anual. Al finalizar cada año se le suma a P ese interés, con lo cual se obtiene un nuevo capital, que al finalizar el año se le sumará nuevamente el 20% y así sucesivamente. Por ejemplo, si depositas 100 Bs al 20% de interés compuesto, el primer año tendrás 120, el segundo año tendrás esa cantidad más su 20% (24 Bs) es decir: 144 Bs. El tercer año tendrás esa cantidad más su 20%, lo que equivale a 172,8 Bs. Esto es un interés compuesto y el capital C obtenido después de t años a una tasa r viene dada por la fórmula que indicamos en la imagen. 

Datación de restos fósiles. 

Una forma de datar la antigüedad de restos fósiles es usando el carbono 14. Esto se debe a que los cuerpos orgánicos pierden su cantidad del isotopo de Carbono 14 a un ritmo constante. La fórmula y un ejemplo en la imagen siguiente: 

Crecimiento de poblaciones. 

El número e también se hace presente en problemas de crecimientos o decrecimientos exponenciales, es decir, muy rápidos. Veamos la fórmula y un ejemplo: 

Una breve historia de e.

Fue John Napier (1550 - 1617) el primero en usar el número e en sus tablas de logaritmos (1618) pero no lo identifica. Curiosamente e hace su aparición a través del estudio del interés compuesto: Si un señor invierte, digamos, 1 Bs. con un interés de 100% anual y se pagan los intereses al año se tendrán 2 Bs (el bolívar original y uno de interés). Pero si el interés se paga dos veces al año, digamos en junio y diciembre, en el mes de junio el interés es la mitad, es decir, 0,5 Bs, que unido al bolívar original son 1,5 Bs que el señor tendrá al 30 de junio. En diciembre tendrá ahora esos 1,5 Bs más 0,75 Bs de intereses (la mitad del 100% de 1,5), lo cual da 2,25 (¿ves como se acerca a e=2,71...?).

El matemático suizo Jakob Bernouilli
(1655 - 1755) fue el primero en identificar
el número e cuando estudiaba el interés
compuesto

Supongamos que el señor decide obtener los intereses de forma mensual. Entonces, el 30 de enero tendrá: 1+1/12=1,083. Ese dinero lo pone al 100% y el 28 de febrero tendrá: 1,083+1,083/12=1,173. El 30 de marzo tendrá: 1,173+1,173/12=1,270. Y así sucesivamente, su dinero se capitaliza al 100%, pagaderos al término de cada mes. Al final del año tendrá aproximadamente 2,61 Bs. Podríamos hacer eso cada día, o cada hora y la cantidad de dinero, al finalizar el año se irá acercando cada vez más al número e (2,71...) Es decir, si pudiéramos hacerlo, de forma instantánea (algo imposible en la vida real) el 31 de diciembre nuestro capital será e. (2,711828...). Parece que el primero en darse cuenta de esto fue Jacob Bernoulli. Él también demostró que ese límite se encontraba entre 2 y 3. Por otra parte, quien le asignó la letra e a esta constante fue Leonhard Euler, en el año 1727. También dio una aproximación para e con 23 decimales. Unos ciento cincuenta años después de Euler, el matemático aficionado William Shanks (1812 - 1882) calculó e con 205 decimales. En 1873 Charles Hermite (1822 - 1901) demostró que e es trascendente. 

Entre las reglas nemotécnicas para e suele mencionarse que después del 2,7, el número 1828 se repite dos veces y después viene la medida de los tres ángulos de un triángulo recto: 45, 90, 45 con lo que e=2,7118281828459045. También, especialmente en Estados Unidos de América, se recurre a la figura del ex presidente Andrew Jackson quien gobernó dos veces, siendo el 7º presidente de ese país, electo en 1828 (se repite porque fue presidente dos veces) y murió en el año 45 (del siglo XIX). Esta regla nos da la aproximación: 2,71828182845. 

El número e enmascarado en la catenaria. 

Toma un hilo, cable o cuerda. Extiéndelo en el aire y sujétalo por sus extremos. El hilo se curva hacia abajo debido a la gravedad. Eso te da la idea de la curva llamada catenaria. Algunos la confunden con la parábola, pero son diferentes. 

¿No es sorprendente conseguir al número e escondido en esta curva? ¿Qué tiene esta constante que aparece en cosas tan diferentes como el interés compuesto, la probabilidad, el crecimiento de una población o la curva que describe una cadena suspendida?

Sabemos que los números, propiamente hablando no pueden verse. Podemos representarlos, ya que un número como ente abstracto que es, sólo puede pensarse, nunca verse. Pero, desde cierto punto de vista, podemos ver al número e, cuando vemos cualquier cable colgando entre dos postes, así como podemos ver a pi cuando vemos cualquier círculo. Allí, ocultos, se encuentran las dos principales constantes de las matemáticas: π que reina en el precálculo y e, soberano del cálculo.