Las serendipias... Quizás Platón tenía razón.

«Conviene que el hombre se dé cuenta de lo que le dicen las ideas, yendo de muchas sensaciones a aquello que se concentra en el pensamiento. Esto es, por cierto, la reminiscencia de lo que vio, en otro tiempo, nuestra alma, cuando caminaba junto con la divinidad [...] El varón, pues, que haga uso adecuado de tales recordatorios, iniciado en tales ceremonias perfectas, sólo él será perfecto. Apartado, así, de humanos menesteres y volcado a lo divino, es catalogado por la gente como perturbado, sin que ellos se den cuenta de que lo que está es entusiasmado».

Quien así se expresa es el filósofo Platón (427 a.C. - 347 a.C.) Su teoría de la reminiscencia  (anamnesis) puede resumirse en esta frase: aprender es recordar. Él opinaba que todas las personas saben todo lo que es posible saber pero que al nacer las olvidamos. Es que tanto él como Pitágoras, que vivió ciento cincuenta años antes, pensaban que nuestra alma tenía una existencia pre-terrenal, donde participaba de la divinidad y por lo tanto sabía todo, pero al encarnarse en un cuerpo físico todo se olvidaba), de modo que cuando aprendemos algo simplemente estamos recordando algo que ya sabíamos. 

Otros han dicho, sin ninguna base, claro está, que existe una especie de biblioteca universal, atemporal y en otro plano o dimensión, biblioteca a la que nuestra mente accede sin proponérselo (a través de sueños, por ejemplo). 

Por supuesto que todo esto son creencias y no hay manera de demostrar su verdad o su falsedad.

Lo cierto es que han habido descubrimientos inesperados, casi que les han llegado a sus autores como una revelación. En ciencia esto se conoce como serendipia(1). Ejemplos de serendipias son: La estructura de la molécula de benceno se descubrió por un sueño que tuvo el químico Friedrich Kekulé, quien tenía días tratando de hallar esa estructura. También Niels Bohr logró descubrir la configuración del átomo después de un sueño donde vio un modelo atómico. El llamado Principio de Arquímedes también puede catalogarse como una serendipia. 

Algunas de las muchas serendipias que abundan en la ciencia. De izquierda a derecha: El modelo atómico de Bohr fue producto de un sueño. El sistema de coordenadas cartesianas que sentó las bases de la matemática moderna le vino a Descartes como una inspiración mientras convalecía en su cama. Una extraña fórmula que da el valor de π. Ramanujan dijo que se la dictó una diosa mientras dormía. La complejidad para deducir una fórmula así, unida a su relativa sencillez nos lleva a pensar que o Ramanujan decía la verdad o su mente era realmente prodigiosa.  La estructura de la molécula del Benceno la obtuvo Kekuké un día que viajaba en autobús y se quedó dormida. Soñó con una serpiente que se mordía la cola y eso le dio la idea de la estructura: era cíclica. 

Hay un área del conocimiento donde son comunes las «revelaciones»: Las matemáticas. Ramanujan, por ejemplo, un gran matemático indio, decía que una diosa le revelaba en sueños los extraordinarios teoremas que él deducía. El plano cartesiano, base para el desarrollo posterior de la geometría analítica fue ideado por Descartes después de observar el revoloteo de una mosca en su habitación, y se imaginó la línea donde se une la pared con el piso y con la otra pared (una esquina) y dedujo que a través de una terna de puntos se podía dar la ubicación de la mosca en el espacio. La espiral de Ulam también es una serendipia. 

Les digo todo eso porque en mi caso me ha sucedido varias veces algo de lo cual me asombro. No es que me considere un genio, nada que ver, me asombro es de la capacidad de la mente humana, de cómo trabaja y especialmente de cómo podemos llegar a altos niveles a fuerza de práctica y de voluntad. Les cuento.

En geometría plana, son muchas las cosas que nos vienen desde la antigüedad. Prácticamente toda la geometría plana (euclidea) que se estudia actualmente es la misma que estudiaban en Atenas o en Alejandría hace dos mil años. Muy poco se ha descubierto desde entonces.

Actualmente escribo un libro de matemáticas y en el mismo, en el capítulo de geometría plana, aparece todo un apartado sobre la construcción de algunos polígonos con regla y compás. Esos métodos ya fueron inventados por los antiguos. Entonces me pregunté: ¿Qué puedo incluir que sea novedoso? Se me ocurrió esto: ¿Cómo inscribir un círculo dentro de un sector circular? Busqué en la internet a ver si ya existía algún procedimiento y mi búsqueda fue infructuosa (admito que busqué sólo en páginas en castellano). Entonces, con papel, lápiz, regla y compás comencé a dibujar para ver si hallaba ese método. 

El problema de inscribir un círculo en un sector circular se reduce a determinar el centro de ese círculo para que sea tangente a los radios y al lado curvo del sector. 

Lo primero que pensé fue que había que trazar las mediatrices de los radios y el punto donde se cortaran era el centro del círculo inscrito. Pero no fue así. Luego pensé que la solución era unir con un segmento los extremos de los radios, trazar la mediatriz de este segmento y el punto medio de la misma era el centro del círculo que estaba buscando. Aunque me estaba acercando a la solución (como luego verán) esta tampoco resultaba. Así estuve por un buen rato. Frustrado abandoné la tarea. En la noche, acostado en mi cama, ya relajado comencé a pensar nuevamente en el problema. Lo primero que hice fue visualizar un sector circular. De pronto, como si me lo dictaran comencé a ver la solución (o al menos eso creía). Me memoricé los pasos y al día siguiente lo comprobé con varios ejemplos (Queda pendiente su demostración) 

El procedimiento que casi me atrevo a asegurar que fue una serendipia paso a describirlo a continuación. 

1. Unimos los extremos de los radios del sector y trazamos su mediatriz (que llamaremos L1). Ésta pasará por el punto O (donde se unen los dos radios) y cortará al lado curvo del mismo en el punto P. Este paso también puede ser: Trazamos la bisectriz del ángulo interno del sector la cual corta al lado curvo en el punto P. Como ven es lo mismo, sólo que con la bisectriz nos ahorramos un paso. Este es el que muestra la siguiente imagen. 

El primer paso es trazar una bisectriz al ángulo interno del sector circular para obtener el punto P. Una bisectriz es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. El punto del círculo inscrito estará sobre esta bisectriz. 

2. Trazamos una perpendicular a L1 que pase por P. Es lo mismo que decir: Trazamos una tangente al lado curvo que pase por P. Llamaremos L2 a esta recta. 

Una tangente es una recta que toca a una curva en un sólo punto. En este caso el punto es P. 

3. Prolongamos los radios del sector hasta que cada uno se cruce con la recta L2 en los puntos Q y R. 

4. Ahora sólo basta hallar el círculo inscrito en el triángulo OQR. Para ello trazamos una bisectriz en cualquiera de los otros dos ángulos (En Q o en R, tú decides. Nosotros usaremos el ángulo en R). Esta bisectriz se cortará con la recta L1 en el punto I, que es el centro que estábamos buscando. 

El punto I es el incentro del triángulo OQR. Ese es el centro del círculo inscrito que estamos buscando.

5. Hacemos centro con el compás en I y trazamos un círculo que pase por P. Este es el círculo inscrito en el sector circular y creo que es el único círculo que puede inscribirse en el. En general, para cualquier sector circular la solución es única. 

Aquí está el círculo inscrito. Estimo que la solución es única.

Si el sector circular es un semicírculo el centro I del círculo inscrito es el punto medio del radio trazado perpendicularmente al diámetro que limita al sector. Puedes verlo en la siguiente figura. 

Un círculo inscrito en un semicírculo. 

Desconozco si existirá otra manera de resolverlo. Tampoco sé si esto ya se le ocurrió a alguien. Y no sé si accedí a esa biblioteca universal que algunos han hablado o es que tuve una vida anterior donde yo eso lo sabía o qué se yo... Lo que sí me pregunto es: ¿Tiene límites la mente humana?

(1) El término serendipia, del inglés “serendipity“, fue usado por primera vez por Horace Walpole en 1754, que lo sacó de un cuento tradicional persa llamado «Los tres príncipes de Serendip». En ese cuento, los protagonistas que eran príncipes de la isla de Sri Lanka (cuyo nombre en persa es Serendip), solucionaban sus problemas a través de extraordinarias casualidades.