El sorprendente número e

«¡Oh! qué número tan fascinante que aparece en las finanzas,

del cálculo de Newton y Leibniz ni hablar,

que ha encontrado en los logaritmos de Neper

su morada al ser su base natural.

Intrigante es el número (e),

que al elevarlo a la x su derivada permanece igual;

¡qué grandioso trascendental!»

La llamada constante de Euler que denotamos con la letra e no es tan fácil de definir como el número π . Una definición no muy completa es esta: «e es la base de los logaritmos naturales». Nosotros preferimos definirlo así: 

Número que con sólo tres decimales es 2,718. Veamos: 

Y así, mientras más alto sea n, más se acerca el valor del límite al número e. Por lo que se cumple: 

Vamos a demostrarlo.

Veamos la representación de una función de esta forma: y=e^x

Observa que y=e es una asíntota horizontal de la curva. ¿Por qué será? Porque e es el límite al cual tiende la función cuando x tiende a infinito.

El número e es irracional y trascendente. Se cree que es normal, pero no hay certeza de ello. (Un número irracional es normal cuando cada dígito de su parte decimal tiene la misma probabilidad de aparecer que cualquier otro dígito). 

El número e suele estar presente en modelos que implican cambios, generalmente cambios continuos, aunque también aparece en problemas de probabilidad. Por otra parte, entre las curiosas propiedades de la función exponencial definida como y=e^x es que ella es su propia derivada, es decir, la tasa de variación de la función en x es igual al valor de la función en x. En la siguiente gráfica aparece la función exponencial y su inversa: la función logaritmo natural (y=lnx)

Vamos a demostrar que la derivada de la función y=e^x es ella misma. 

Tres problemas donde aparece el número e. 

Interés Compuesto. 

Imagina que depositas una cantidad P en una cuenta. El interés es de 20% anual. Al finalizar cada año se le suma a P ese interés, con lo cual se obtiene un nuevo capital, que al finalizar el año se le sumará nuevamente el 20% y así sucesivamente. Por ejemplo, si depositas 100 Bs al 20% de interés compuesto, el primer año tendrás 120, el segundo año tendrás esa cantidad más su 20% (24 Bs) es decir: 144 Bs. El tercer año tendrás esa cantidad más su 20%, lo que equivale a 172,8 Bs. Esto es un interés compuesto y el capital C obtenido después de t años a una tasa r viene dada por la fórmula que indicamos en la imagen. 

Datación de restos fósiles. 

Una forma de datar la antigüedad de restos fósiles es usando el carbono 14. Esto se debe a que los cuerpos orgánicos pierden su cantidad del isotopo de Carbono 14 a un ritmo constante. La fórmula y un ejemplo en la imagen siguiente: 

Crecimiento de poblaciones. 

El número e también se hace presente en problemas de crecimientos o decrecimientos exponenciales, es decir, muy rápidos. Veamos la fórmula y un ejemplo: 

Una breve historia de e.

Fue John Napier (1550 - 1617) el primero en usar el número e en sus tablas de logaritmos (1618) pero no lo identifica. Curiosamente e hace su aparición a través del estudio del interés compuesto: Si un señor invierte, digamos, 1 Bs. con un interés de 100% anual y se pagan los intereses al año se tendrán 2 Bs (el bolívar original y uno de interés). Pero si el interés se paga dos veces al año, digamos en junio y diciembre, en el mes de junio el interés es la mitad, es decir, 0,5 Bs, que unido al bolívar original son 1,5 Bs que el señor tendrá al 30 de junio. En diciembre tendrá ahora esos 1,5 Bs más 0,75 Bs de intereses (la mitad del 100% de 1,5), lo cual da 2,25 (¿ves como se acerca a e=2,71...?).

El matemático suizo Jakob Bernouilli
(1655 - 1755) fue el primero en identificar
el número e cuando estudiaba el interés
compuesto

Supongamos que el señor decide obtener los intereses de forma mensual. Entonces, el 30 de enero tendrá: 1+1/12=1,083. Ese dinero lo pone al 100% y el 28 de febrero tendrá: 1,083+1,083/12=1,173. El 30 de marzo tendrá: 1,173+1,173/12=1,270. Y así sucesivamente, su dinero se capitaliza al 100%, pagaderos al término de cada mes. Al final del año tendrá aproximadamente 2,61 Bs. Podríamos hacer eso cada día, o cada hora y la cantidad de dinero, al finalizar el año se irá acercando cada vez más al número e (2,71...) Es decir, si pudiéramos hacerlo, de forma instantánea (algo imposible en la vida real) el 31 de diciembre nuestro capital será e. (2,711828...). Parece que el primero en darse cuenta de esto fue Jacob Bernoulli. Él también demostró que ese límite se encontraba entre 2 y 3. Por otra parte, quien le asignó la letra e a esta constante fue Leonhard Euler, en el año 1727. También dio una aproximación para e con 23 decimales. Unos ciento cincuenta años después de Euler, el matemático aficionado William Shanks (1812 - 1882) calculó e con 205 decimales. En 1873 Charles Hermite (1822 - 1901) demostró que e es trascendente. 

Entre las reglas nemotécnicas para e suele mencionarse que después del 2,7, el número 1828 se repite dos veces y después viene la medida de los tres ángulos de un triángulo recto: 45, 90, 45 con lo que e=2,7118281828459045. También, especialmente en Estados Unidos de América, se recurre a la figura del ex presidente Andrew Jackson quien gobernó dos veces, siendo el 7º presidente de ese país, electo en 1828 (se repite porque fue presidente dos veces) y murió en el año 45 (del siglo XIX). Esta regla nos da la aproximación: 2,71828182845. 

El número e enmascarado en la catenaria. 

Toma un hilo, cable o cuerda. Extiéndelo en el aire y sujétalo por sus extremos. El hilo se curva hacia abajo debido a la gravedad. Eso te da la idea de la curva llamada catenaria. Algunos la confunden con la parábola, pero son diferentes. 

¿No es sorprendente conseguir al número e escondido en esta curva? ¿Qué tiene esta constante que aparece en cosas tan diferentes como el interés compuesto, la probabilidad, el crecimiento de una población o la curva que describe una cadena suspendida?

Sabemos que los números, propiamente hablando no pueden verse. Podemos representarlos, ya que un número como ente abstracto que es, sólo puede pensarse, nunca verse. Pero, desde cierto punto de vista, podemos ver al número e, cuando vemos cualquier cable colgando entre dos postes, así como podemos ver a pi cuando vemos cualquier círculo. Allí, ocultos, se encuentran las dos principales constantes de las matemáticas: π que reina en el precálculo y e, soberano del cálculo.