Las matemáticas y el referéndum revocatorio en Venezuela del año 2004

La ley de Benford parece decirnos que en el fondo nada ocurre al azar. Por ejemplo, la asistencia a un acto político, la cantidad de votos que obtiene un candidato o la evolución de las preferencias electorales ocurren y evolucionan de acuerdo con leyes matemáticas.

Imagen:  Hugo Chávez (1954 - 2013), quien fuera presidente de Venezuela de 1999 hasta su muerte en 2013, se dirige a una multitud de afectos en un acto político en Caracas en el año 2006. 

Hace más de un siglo, en 1881, el matemático Simon Newcomb (1835 – 1909) se percató que en un viejo libro con tablas de logaritmos las páginas iniciales estaban más gastadas que las otras y que, incluso, el desgaste, iba en descenso a medida que se pasaban las páginas. La única explicación era que las personas tendían a usar más las primeras páginas que las otras.

¿Qué había en esas primeras páginas? Los logaritmos que comenzaban con 1. Entonces conjeturó que la ocurrencia de los números en cualquier cifra no es equiprobable sino que el 1 es el que más tiende a aparecer en la posición inicial. Me explico, si le dices, por ejemplo, a diez personas, que cada una escriba un número de tres dígitos, el 1 será el que más aparezca como el dígito inicial, le seguirá en frecuencia el 2, luego el 3 y así hasta el 9 que será el que menos tienda a aparecer. 

Newcomb estaba en lo cierto pero no le dio más importancia a esto. Hubo que esperar 57 años hasta que un físico que trabajaba para la empresa General Electric, llamado Frank Benford (1883 – 1948) se diera cuenta del fenómeno (él no conocía el trabajo de Newcomb). Dedujo entonces la ley cuya fórmula está en la imagen y que se conoce como Ley de Benford. (lo justo sería Ley de Newcomb-Benford).  También se le llama fenómeno del dígito principal.  

De izquierda a derecha: Simon Newcomb, astrónomo y matemático estadounidense de origen canadiense. Polímata, hizo grandes contribuciones a la astronomía. Hay una anécdota interesante. En 1903 quiso intentó demostrar matemáticamente que era imposible que un objeto más pesado que el aire volara. No lo consiguió y ese mismo año los hermanos Wright ensayaron con éxito el primer vuelo. Frank Benford , físico y electricista estadounidense. Siendo empleado en la General Electric dedujo la ley que lleva su nombre y cuya fórmula está a la derecha y que sirve para calcular el porcentaje de ocurrencia de un dígito (d) en el primer lugar de una cantidad, El del 1 es 100 multiplicado por el logaritmo de 1+1=2, es decir %= 100 × log(2) que es 30,1%. Entonces, en una lista de cantidades o de números, si el primero de los dígitos de cada cantidad es 1 en un 30% es probable que esos números no sean fraudulentos.   

La ley sirve para detectar posibles fraudes en pagos de impuestos, loterías y elecciones. Por ejemplo, si alguien trata de falsificar su declaración de impuesto sobre la renta, irremediablemente tendrá que inventar algún dato. Al hacer esto la tendencia es a utilizar demasiados números que comienzan por dígitos a mitad de la escala, 5, 6 ó 7 y pocos que empiezan por 1. Esto causaría una violación a la Ley de Benford. Es tan así que existe un reglamento del Departamento de Hacienda de EE.UU: Si en una lista de cifras más de la mitad no empiezan con 1, una computadora revisará la frecuencia de los otros dígitos. Por ejemplo, si el 3 aparece el 40% de las veces, en vez de un 12,5% que es lo habitual, según la Ley de Benford, es muy probable que la lista sea fraudulenta. 

Tal vez una empresa contrate a alguien para hacer una encuesta, la persona no la hace sino que lleva datos numéricos inventados. Esta ley puede determinar si eso fue así. Y también en algo más importante: elecciones;   ya que en ellas puede tomarse la cantidad de votos por un candidato en cada centro de votación y revisar si esa lista cumple con la Ley de Benford (el 1 debe aparecer como primer dígito alrededor de un 30%, el 2 debe hacerlo como como en un 17%, el 3 en un 12%... (Ver la tabla A de la imagen de abajo) Así que si alguien inventa una cantidad de votos para un candidato, tiende siempre a usar números que comienzan con 4, con 5 o con 6. Si los resultados muestran esta tendencia, o mejor, si muestran que la aparición del 1 como primer dígito no es bastante cercana al 30% es muy probable que haya habido fraude.   

¿Por qué la ocurrencia de aparición de cada dígito n en la primera posición de una cantidad se da de manera que parece seguir un patrón. En la tabla se indican los porcentajes. Por ejemplo, el 9 sólo tiene un 4,6% de probabilidad de aparecer en como primer dígito de una cantidad.  

La Universidad de Michigan, en el año 2009, usó la Ley de Benford para analizar las elecciones en Irán donde Ahmadinejad (En Irán) sacó el 63% de los votos. La Universidad concluyó que las desviaciones eran tan grandes que el fraude era obvio. 

En el año 2004 se hizo un referéndum revocatorio en Venezuela. Las opciones eran SI (Sí queremos que Hugo Chávez se vaya de la presidencia) y NO (No queremos que se vaya). Ganó el NO. La oposición venezolana cantó fraude y hasta se dieron curiosas explicaciones matemáticas. Unas más absurdas que otras. 

Pero lo que muy pocos saben es que el Centro Carter, que sirvió de observador en ese proceso, le pidió a la Universidad de Puerto Rico que analizara los resultados a la luz de la Ley de Benford. Así se hizo (Los resultados preliminares de este informe pueden verlo aquí: http://esdata.info/pdf/pericchi-torres.pdf)

En el informe ellos concluyen que posiblemente hubo fraude pero admiten que en las mesas auditadas y en aquellas donde la votación fue manual se cumple al pie de la letra la ley de Belford. Dicen que la ley no se cumple en aquellas que no fueron auditadas. Algo que para ellos es muy «curioso y extraño». 

Por otra parte muchos expertos opinan que la Ley de Belford no es aplicable a los procesos electorales masivos (Puedes ver un estudio aquí: http://www.scielo.org.mx/)

A manera de conclusión. 

Existen constantes matemáticas y físicas. Por ejemplo, g=9,8 m/seg^2... es una constante (aceleración de gravedad), también lo es 𝝅 (3,14...), y muchas más. Tomando todas esas constantes se ha determinado el porcentaje de aparición de cada dígito en el lugar inicial. En el gráfico siguiente, los segmentos verdes señalan la ley de Benford y los rojos señalan estos porcentajes. Observa cómo están muy próximos a la mencionada ley.  

Las constantes de la física y la matemática cumplen con la Ley de Benford. 

Esta ley matemática fue demostrada por el matemático estadounidense Ted Hill en el año 1995. Pero, aunque se tiene una idea de por qué se da, algunos de sus aspectos permanecen en el misterio. Es como si hubiera una única ley superior, que engloba todas las demás leyes de las matemáticas, en pocas palabras, la ley de Benford parece decirnos que en el fondo nada ocurre al azar. 

La ley de Benford fue usada por el personaje Charlie Eppes en la serie de TV estadounidense «Numbers» para resolver una serie de robos.

Puedes leer más en este enlace http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html (Está en inglés).