Euclides... Cuando una vida humana se convierte en una rama del saber

"Lo que se afirma sin pruebas, puede ser negado sin pruebas"

Euclides

Son pocos los hombres cuya obra ha trascendido los siglos. Uno de ellos es Euclides. Casi nada sabemos de su vida privada. Ni en qué año nació, ni dónde (algunos creen que fue en Biblos, antigua ciudad Fenicia), tampoco sabemos si se casó, si tuvo hijos… Nada. Su vida se va alejando de nosotros en la misma medida en que su magna obra ha sobrevivido incólume a través de las edades. Nos referimos a “Los elementos”. 

La influencia de este libro en la historia sólo ha sido superada (o se equipara con la Biblia). En efecto, “Los elementos” es el libro más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones después de la Biblia Judeocristiana. Durante varios siglos fue texto obligatorio en los colegios del Imperio Romano y luego en las universidades que se crearon en Europa a partir del siglo X. Toda la geometría que se enseña hoy en día en educación primaria y secundaria en todo el mundo es euclidiana. 

Se sabe que Euclides fue maestro de Arquímedes y que vivió y enseñó en Alejandría. Gracias a ese dato es probable que nuestro personaje haya nacido entre el 330 y el 325 a.C. Se cree, así mismo, que escribió Los elementos en el año 300 a.C. a una edad de entre 30 y 25 años.

Un grabado decimonono recrea cómo pudo ser
la entrega  por parte de Euclides de "Los elementos"
al faraón Ptolomeo I Sóter. 

Se dice que fue el faraón Ptolomeo I Sóter quien pidió a Euclides que produjera un gran libro que sintetizara o diera forma a toda la geometría. Como sea, Euclides produjo “Los elementos”. Tal vez no es del todo original porque él se basó en muchos estudios anteriores. Lo que sí es original fue su forma de presentarlo. Tanto así que Euclides fijó en este libro la forma como debería enseñarse la matemática, su forma pedagógica. En pocas palabras, el lenguaje de la matemática. 

“Los elementos” son trece libros. Los cuatro primeros hablan de la geometría plana, el quinto y el sexto tratan sobre las proporciones. Del 7 al 9 versan sobre la aritmética, enfocada desde una visión pitagórica. En el libro 10 habla sobre los números irracionales. Los últimos tres libros hablan sobre la geometría del espacio, es decir, la geometría de los cuerpos sólidos. 

En el Libro I aparecen los famosos cinco postulados. ¿Quién no ha escuchado de ellos? Son estos: 

1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera. 

2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. 

3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia. 

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 

5. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. 

El quinto postulado es quizás el más hermoso y al que más se le han dedicado horas de estudios en los últimos dos mil años. Proclo, un matemático que vivió ochocientos años después de Euclides lo resumió de esta forma: 

“Por un punto exterior a una recta puede trazarse sólo una paralela a dicha recta”. 

En el libro I también aparecen las “Nociones”: 

1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. 

2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales los totales son iguales también. 

3. Si a cosas iguales se le restan cosas iguales, los restos también son iguales. 

4. Las cosas que coinciden entre sí, son iguales entre sí. 

5. El todo es mayor que sus partes. 

Una de las proposiciones de Euclides: "Si un paralelogramo y un triángulo están entre dos paralelas y ambos tienen igual base, entonces el área del paralelogramo es el doble que la del triángulo". 

Euclides no demuestra ni los postulados ni las nociones (a las que considera verdades evidentes). Pero el resto de su libro se va en demostrar las proposiciones, que son casi 400. Por ejemplo, una de ellas, la proposición 41 del libro I dice: 

“Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y están entre las mismas paralelas, entonces el área del paralelogramo es el doble que la del triángulo”.

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos. 

Otra de las proposiciones, muy conocida es la 32 del mismo libro I. Dice así: 

“En cualquier triángulo, si uno de sus lados es prolongado, entonces el ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos opuestos e internos, y la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a dos ángulos rectos”.

Hay una anécdota que ilustra la forma de pensamiento de Euclides y de sus seguidores. Una de las proposiciones (I-20) es ésta: 

“En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos”. Es otra forma de decir que la menor distancia entre dos puntos es la línea recta que los une.

Esto parece evidente: Imagina un triángulo. Tiene tres lados. Uno de ellos tiene que ser menor que la suma de los otros dos. Sin embargo Euclides no lo veía tan “evidente” y decía que eso había que demostrarlo. 

Otros matemáticos y filósofos, especialmente los epicuristas, se burlaban diciendo que hasta un burro sabe eso. Un burro, separado de su comida, irá hasta ella en línea recta y no caminando sobre dos segmentos diferentes. 

Los euclidianos responden: 

_ Los epicuristas merecen compartir la comida con ese burro. 

Por eso, hasta hoy, muchos llaman a esa proposición: “El Teorema del Burro”. 

No es Euclides creyera que fuese falso que un lado de todo triángulo siempre es menor a la suma de los otros dos sino todo lo contrario, estaba convencido de que era verdad pero era necesario demostrarlo matemáticamente. 

Otra anécdota relacionada con Euclides se refiere a que una vez el rey Ptolomeo le dijo que le enseñara una manera rápida de aprender geometría. Euclides le respondió: 

_ No hay camino de reyes para la Geometría. 

Arriba: Un antiguo fragmento de "Los elementos". Data del siglo I a.C. Abajo: El llamado Teorema del burro: "En todo triángulo cualquier lado es menor a la suma de los otros dos". Para todos esto parece evidente pero Euclides dice que no es una verdad evidente y debe ser demostrado.  A la derecha: Estatua de Euclides en la Universidad de Oxford. En el rollo que tiene en su mano muestra la representación visual de la demostración que él hizo del Teorema de Pitágoras.  

Euclides murió hacia el año 265, a los sesenta y cinco años (o a los 60 si nació en 325 a.C.). Sus alumnos siguieron escribiendo y firmaban sus escritos con su nombre. Fue Proclo, al que ya mencionamos, quien revitalizó la obra de Euclides. Proclo vivió en el siglo V, cuando ya había caído el Imperio Romano. Fue el penúltimo Director de la Academia de Atenas y el último gran filósofo de la antigüedad. 

Es curioso, casi nada sabemos de la vida de Euclides, pero es, de todos los matemáticos de la antigüedad, de quien tenemos más libros. Aparte de “Los Elementos” llegaron hasta nosotros “Datos”, “Sobre la división de las figuras” “Fenómenos” y “Óptica”. Se sabe que escribió otros: Un tratado de música y un libro sobre las cónicas, pero estos sí se perdieron. 

“Los Elementos” está impregnado de la filosofía de Platón y también contiene aspectos del pitagorismo… Ha sido el principal instrumento para transmitir el saber matemático en los últimos 2300 años.  El célebre Bertrand Russell dijo refiriéndose a este libro: "Jamás imaginé que hubiera algo tan delicioso en el mundo". 

Así, en el eterno transcurrir de los tiempos, el nombre de Euclides seguirá pronunciándose aunque ya no sepamos si era un hombre, un mito, una leyenda o un dios.