La Cuadratura del Círculo... Historia de una Obsesión

Egipto, sin duda, es hasta ahora la civilización más perdurable y fructífera de las que han existido.   

Hace 200 años, Europa redescubrió el Egipto antiguo. Este país estaba lleno en toda su extensión de ruinas de templos, de tumbas… Toda la gloria de una de las más grandes civilizaciones que se han dado en el mundo comenzó a ser descubierta y comprendida. 

Fue entonces cuando los habitantes de Egipto comenzaron a darse cuenta que tenían una mina de oro: papiros, estatuillas, fragmentos de cerámicas y hasta momias, valían mucho dinero. Y en los mercados de Tebas, El Cairo, Luxor y otras ciudades comenzaron a proliferar ventas de todas esas antigüedades. 

Y muchos europeos, los que podían permitírselo, viajaban constantemente a la tierra del Nilo a buscar, a excavar o a comprar cualquier cosa, lo que fuera, que haya sido hecho en la época de los faraones.

En Luxor se encuentra el complejo de Templos de Ramsés II, un poderoso faraón que vivió hace 3200 años. Ramsés, en su largo reinado, se dio a la tarea de construir templos, bibliotecas, grandes palacios. Y allí, en esta ciudad, en el Templo que él bautizó como “La Casa del Millón de Años” reunió a grandes eruditos: astrónomos, matemáticos y artistas. 

Bajorrelieve en "La Casa del Millón de Años" en Luxor.
Mandada a construir por Ramsés II, albergó una gran
biblioteca.

En la biblioteca de la Casa del Millón de Años se llevaron muchos textos que habían sido escritos desde siglos antes. Uno de esos textos era un papiro de 32 metros de largo (Los libros eran escritos en largas franjas de papiro y se enrollaban). Contenía 87 problemas matemáticos. No se sabe su autor, sólo que se escribió en el reinado de Apofis I quien gobernó Egipto a fines del siglo XV a.C. (300 años antes de Ramsés) Quizás Apofis I fue el Faraón que nombró a José, hijo de Jacob, como Gobernador de Egipto (según el libro del Génesis de la Biblia). Algunos hasta han creído que José puede ser el autor de este Papiro. 

Uno de los copistas de la Casa del Millón de Años, llamado Ahmes, vio la importancia de aquél texto que ya estaba bastante deteriorado y se dedicó a copiarlo. Tuvo la gentileza de escribir que él no era el autor, sino que era una copia de un documento más antiguo escrito en los tiempos de Apofis I. 

El tiempo pasó… El original se perdió, pero en un cofre, en una habitación se quedó la copia que hizo Ahmes. 

La historia siguió su curso… las arenas del desierto, el sol, las aguas del Nilo y el tiempo convirtieron en ruinas a Egipto. 

A mediados del siglo XIX, un buscador de tesoros excavó en las ruinas de la Casa del Millón de Años y allí estaba, en perfecto estado, como si el tiempo hubiera respetado su contenido, como un regalo de la historia: El papiro de Ahmes. Treinta y dos metros del antiguo saber egipcio, enterrado bajo la arena. 

Ahmes quizás fue o un profesor
que hizo una copia del papiro para
que fuera texto de consulta de sus alumnos.

El hombre lo desenrolló y por supuesto que no entendía nada. Pero sí logró entender un lenguaje que es universal e intemporal: la matemática. Vio círculos, triángulos… 

"Muchos triángulos" _Pensó. 

Un analfabeta del Egipto moderno estaba leyendo, sí se puede decir así, el papiro de Ahmes. 

Inmediatamente supo que aquello debía valer mucho dinero y se lo vendió a un anticuario de la ciudad quien lo exhibió en el mercado.

Un día del año 1858, Alexander Henry Rhind, un joven escocés de 25 años de edad, admirador del antiguo Egipto, caminaba por el mercado y sobresaliendo entre todas las cosas vio el rollo. Pidió abrirlo y por lo que sabía de escritura antigua egipcia leyó un nombre: “Apofis I”. 

Disimuló su asombro para que aquel comerciante no fuera a pedirle más dinero. Pero tenía en sus manos algo de 3500 años de antigüedad. 

Y vio los diagramas… ¡Era un texto de matemáticas! 

Y vio la pregunta que quitó el sueño no sólo a los egipcios, sino a Pitágoras, a Hipócrates, a Arquímedes: 

"¿Cómo hallar un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado?" 

“¿Estará aquí la respuesta a ese problema?” _pensó Alexander. 

_ Se lo dejo en 100 dinares, señor. _le dijo el comerciante. 

“Pero si los egipcios lograron resolver ese problema, ¿cómo no se enteraron los griegos?” _seguía pensando Alexander. 

_ ¿Señor? 

“¿Y si fue que lo mantuvieron en secreto?” 

_ Señor… ¿va a comprar sí o no? 

_ ¿Cuánto pide por esto? 

Alexander pagó menos de lo que pensaba que le iban a cobrar y se fue con el rollo de Papiro.   

Ahora se le conoce como papiro de Rhind y también, por supuesto, como Papiro de Ahmes. Contiene 87 problemas matemáticos. Entre ellos el problema de la cuadratura del círculo. 

En el barco que lo lleva a Italia el joven Alexander Rhind no puede quitarse la sonrisa de su rostro. Tiene en sus manos el texto de matemáticas más antiguo que existe. Y quizás allí esté resuelta la obsesión más grande de cientos de hombres a lo largo de la historia: 

¿Es posible cuadrar el círculo? 

En el Ramesseum, en las afueras de Luxor, un pequeño remolino de arena entra al habitáculo donde estuvo el papiro. 

Como si estuviera guiada por una fuerza invisible la arena se deposita suavemente en el nicho donde estaba el cofre... 

Ahmes ya puede irse tranquilo. Su libro ha llegado hasta los tiempos modernos. 

Un poco de información antes de continuar: 

De todas las figuras geométricas que existen, el círculo es el que más ha fascinado a los matemáticos de todos los tiempos. Sin duda lo primero que llamó la atención de ellos fue cómo calcular la longitud de la circunferencia (la circunferencia es la línea que encierra un círculo) Y como ellos, al igual que nosotros, siempre estamos buscando patrones o relaciones entre las cosas, pronto se preguntaron: ¿Cuánto vale la razón entre la circunferencia y el diámetro? 

Esta relación es constante, es decir, no importa el tamaño de la circunferencia, siempre dará el mismo número. Como hace miles de años era difícil entender el concepto de número irracional, los antiguos simplemente dijeron que la relación entre la circunferencia y el diámetro valía 3, es decir, la circunferencia es tres veces lo que mide el diámetro. No estaban tan lejos del valor exacto, aunque, matemáticamente hablando, estaban infinitamente lejos. Esa relación la llamamos ahora con la letra griega que se lee pi. 

Más tarde, los egipcios dieron una aproximación mejor. Para ellos pi valía 22/7 que si lo dividimos nos da 3,142857143. Mucho mejor que el valor de 3. 

¿Por qué digo todo esto? ¿Qué tiene que ver con la cuadratura del círculo? Pues bien el problema de cuadrar el círculo consiste en hallar un cuadrado que tenga la misma área que un círculo, usando solamente regla y compás. Pero el número pi, entra en la fórmula para hallar esa área y pi es irracional, es decir no es el cociente de dos enteros.  

Alexander Rhind llegó a Italia y abrió el rollo. Aparecía una solución al problema de cuadrar el círculo:  

“Quítele la novena parte al diámetro y con lo que queda construya un cuadrado”. 

Alexander Rhind (1833 - 1863) legó su fortuna
a una sociedad dedicada al fomento de las ciencias. 

Alexander hizo los cálculos. Era una buena aproximación, pero esa no era la solución a la cuadratura del círculo. Usando ese dato obtenía que pi vale 3,16. El cuadrado que se obtenía era mayor que el círculo. Sin embargo el papiro de Ahmes demostraba que el problema de la cuadratura del círculo era más antiguo de lo que se pensaba.

En realidad para nadie era un secreto que los antiguos egipcios conocían de ese problema y parece ser que nos dejaron una pista en la construcción de la Pirámide de Keops. En ella, si tomamos la altura como radio, se forma una circunferencia que es casi igual al perímetro de la base (que es cuadrada). ¿Casualidad? Tratándose del antiguo Egipto no lo creo. 

Alexander empeoró. Sufría desde hacía un tiempo de tuberculosis. Sentado, frente la fogata, comenzó a pensar y a recordar. 

Siglo V a.C. Anaxágoras es un gran matemático y filósofo griego y está en prisión. No es que haya cometido un crimen como nosotros entendemos lo que es un crimen. Él está preso porque se atrevió a decir que el Sol no era ningún Dios sino una gran roca incandescente y La Luna tampoco era una diosa sino una tierra deshabitada que reflejaba la luz del Sol En su celda _de la cual saldrá pronto_ y como pasatiempo, se da a la tarea de intentar cuadrar el círculo. 

El pobre no tuvo mucho éxito; sin embargo, tiene el mérito de haber sido el primero, que sepamos, que abordó el problema desde un punto de vista no práctico, sino por placer.  Anaxágoras decía que “la razón gobierna el mundo”.  

Pero en Quíos, vivía Hipócrates. Él está considerado el primer “matemático profesional” y él hará algo que llevará a todos a creer que el círculo sí puede cuadrarse. 

Hipócrates es un joven dedicado al comercio pero ya está cansado de que lo roben tanto piratas como políticos corruptos. Se marcha de su isla natal a Atenas y como sabe algo de matemáticas se dedica a enseñar a los niños para poder sobrevivir. 

Pasan algunos años y le agarra amor a esta disciplina. Se convierte en un destacado matemático a quienes todos buscan. Y como todos, ansioso de fama, se propone cuadrar el círculo. Logró cuadrar un área limitada por una superficie curva… ¡Entonces sí era posible cuadrar el círculo! Fue lo que todos pensaron. 

La llamada “lúnula de Hipócrates” y la demostración que hizo de que su área era igual al triángulo ha quedado en la historia como una gran hazaña.

Ahmes hizo una copia de un papiro más antiguo escrito
en la misma época del José que se menciona en la Biblia
y que llegó a ser Gobernador de Egipto.  En la imagen,
oleo de Mariano Barbasán "José intrepreta los sueños
del copero y el panadero" (1888)

Aunque Hipócrates siguió intentando resolver la cuadratura del círculo no lo logró. Casi al mismo tiempo que él vivía en Atenas un filósofo llamado Antifón. Éste también lo intentó inscribiendo polígonos en un círculo. Él razonó de esta manera: Si inscribo un polígono dentro de un círculo siempre es posible construir otro que tenga el doble de lados y así sucesivamente y como cualquier polígono es cuadrable también lo será el círculo. Pero Antifón falló… Nunca el polígono, por más lados que tenga “se convertirá en una circunferencia”. Aristóteles, 100 años después, dijo que ese método de Antifón era “una grosería”. 

Antifón debió conformarse con sus largas charlas con Sócrates y escribir un libro muy bueno llamado “Sobre la verdad”: 

Al mismo tiempo que Antifón y sin que los dos se conocieran, otro matemático, Brisón, usó un método similar pero él ponía polígonos dentro y fuera del círculo de modo que “el círculo cada vez queda más estrecho entre ambos polígonos”. Tampoco logró nada, pero quizás debe haber obtenido un valor bastante aproximado de pi. Doscientos años después Arquímedes perfeccionará este método. 

Por esos días también vivía Hipias…Un hombre a quien Aristóteles, que vivió casi 100 años después, consideraba un gran polímata, es decir, una persona que sabe de todo. Así era: Hipias era versado en cualquier cosa: matemática, filosofía, historia, geometría, poesía, geografía, arquitectura, música… y también poseía una extraordinaria memoria. 

Hipias estableció la curva que lleva su nombre, a la que también se le conoce como “cuadratriz” que sirve para la trisección del ángulo y para rectificar una circunferencia… ¿Rectificar una circunferencia?... En efecto, pero eso no soluciona el problema de la cuadratura del círculo. 

Poco después aparece un tal Dinostrato, él también estaba obsesionado con este problema y creyó ver en la cuadratriz de Hipias la solución para el mismo. Algo logró, pero no usó solamente regla y compás, que era la condición para obtener fama. 

Mientras tanto, en una ciudad en Asia Menor (hoy Turquía) vivía Eudoxo. Él siguió con el método de Antifón y sin quererlo logró encontrar un tema para el que los griegos no estaban muy bien preparados. No lograron entenderlo a cabalidad: el infinito matemático. Parece que Eudoxo lo conocía, pero inconscientemente lo rechazaba. Para los griegos las idea de “infinito” y "vacío" eran inconcebibles. Si no hubiesen pensado así hubieran hecho más prodigiosos avances en la matemática. 

El siglo IV a.C. fue el siglo donde hubo más dedicación para resolver este problema. El tema decayó durante 200 años hasta que apareció Arquímedes. Éste había estudiado en Alejandría con Euclides y cuando regresó a Siracusa, su ciudad natal, llevaba en mente la idea de cuadrar el círculo. Tampoco lo logró pero dio una gran aproximación de pi. 

Y con su muerte, a manos de un soldado romano, termina la era de los grandes genios matemáticos griegos y el problema de cuadrar el círculo quedó prácticamente en el olvido durante casi 2000 años.   

El papiro de Ahmes es el más antiguo texto de matemáticas que existe. 

Ya mencionamos que pi es la razón de la circunferencia entre el diámetro. Cuadrar el círculo pasa primero por “cuadrar” este número. Me explico. Es fácil saber la longitud de una circunferencia. Podemos tomar un cilindro, enrollarle un hilo hasta que sus extremos coincidan y luego dividir ese hilo entre el diámetro del cilindro. Por supuesto que esto no será muy exacto, a lo sumo obtendremos que pi vale 3. Se requiere mucha precisión para obtener al menos una cifra decimal. Pero el método es matemáticamente exacto. Después podemos tomar el hilo y disponerlo de tal manera que forme los lados de un cuadrado. Con nuestro hilo podremos hacerlo, pero en la realidad matemática no se puede porque siempre faltará o sobrará un pedacito. Allí, en ese pedacito, está contenido el número pi. 

Los antiguos griegos, como ya vimos, lo intentaron. Fue una verdadera obsesión pero los trabajos de algunos, como Hipias de Élide, nos dicen que ellos debieron saber que ese problema era irresoluble usando sólo regla y compás. Con todo, sus esfuerzos lograron que se descubrieran otras cosas y casi que llegan al cálculo integral. 

A partir del siglo XVIII los eruditos abordaron el problema de otra forma: Demostrar que es imposible la cuadratura del círculo. Tal vez sus intentos los llevarían a demostrar lo contrario (En Matemáticas intentar demostrar que algo no es puede decirte que sí es)  

Y en 1766, de la mano de un matemático francés, Johann Lambert, llegó la demostración de que pi es irracional. Un número irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos enteros. Por ejemplo, cualquier número que puedas escribir así: a/b donde a y b son enteros es un número racional, si no puedes escribirlo de esa manera es irracional. La certeza de que pi era irracional fue el primer aviso de que era imposible cuadrar el círculo. 

En efecto, el trabajo de Lambert garantiza que los decimales de pi son infinitos pero no demuestra 100 por ciento que la cuadratura del círculo es imposible, debido a que muchos números irracionales pueden construirse con regla y compás. 

Aún así, las principales academias de matemáticas emitieron un comunicado que no recibirían más trabajos que se titularan: “la cuadratura del círculo”. 

¿Entonces? ¿Qué es pi?... ¿Es algo que va más allá de nuestro entendimiento? 

1863. En Cadenabbia, un hermoso pueblo italiano, Alexander Rhind arde en fiebre. Tiene en sus manos el Papiro de Ahmes. Alexander no verá el nuevo día.  En su testamento lega toda su biblioteca a una sociedad escocesa y también dinero para que se otorguen becas de estudio. El papiro de Ahmes lo dona al Museo Británico donde aún se encuentra. 

Como muchos antes que él, Alexander no vio el gran descubrimiento y éste saldrá, en 1882, de la mente de Ferdinand Lindemann, un matemático alemán. 

Ferdinand Lindemann demostró en 1882
que el número pi es trascendente. 

Lindemann demostró que pi es un número trascendente. Un número trascendente es aquel que no es la solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros no todos nulos. Entonces, como pi es trascendente no existe ninguna ecuación cuyo resultado sea exactamente pi. Con esto quedó demostrado que es imposible cuadrar el círculo con regla y compás. 

Pero la obsesión no terminó allí. Todavía hay quienes están convencidos que la cuadratura del círculo es posible. Nadie les quita la obsesión. El gran matemático Morgan dijo que están afectados por una enfermedad a la que llamó “morbus cyclometricus”.

Uno de esos “enfermos” escribió varios libros tratando de demostrar que pi vale realmente 25/8 y hay los que aseguran que el valor de pi que nos han enseñado es un gran fraude. 

Pareciera que no hay cura para la morbus cyclometricus…