Arquímedes, la mente más brillante que jamás ha existido

"Halagado y entretenido de contínuo por una sirena doméstica y familiar, se olvidaba del alimento y no cuidaba de su persona, llevado a la fuerza a ungirse y bañarse, dibujaba figuras geométricas en las cenizas de los hogares y después de untado su cuerpo, tiraba líneas en él con el dedo, dominado por un gran placer y fuera de si.  Se sentía como poseído de las musas"

PLUTARCO

Así escribe el antiguo historiador Plutarco sobre Arquímedes. Un matemático y físico nacido en Siracusa en el año 287 a.C. Los detalles de su vida no se conocen con exactitud. Se sabe que uno de sus amigos escribió su biografía, pero ésta se perdió. Lo poco que se conoce de su vida personal es que era hijo de un tal Fidias y que estudió en Alejandría bajo la dirección del gran matemático Euclides.  

Hay una razón por la que se conoce poco sobre la vida personal de Arquímedes: Sus hazañas como inventor y matemático hicieron que todos los historiadores antiguos se enfocaran en estos aspectos, obviando detalles sobre si tuvo esposa o hijos, por ejemplo. 

Aunque fueron muchas sus aportaciones al conocimiento, que ya las veremos muy resumidamente, la anécdota más conocida es aquella en la cual el rey de Siracusa, Hierón II (que era su primo) le pidió que averiguara si una corona que había mandado a hacer era de oro o el orfebre le había añadido plata u otro metal. El problema era fácil, con sólo fundir la corona se sabría, pero Hierón le dijo que no podía destruirla. También Arquímedes podía haberla pesado y medido su volumen, con eso podría calcular la densidad (algo que ya los antiguos sabían cómo hacer) pero había otro problema: ¿Cómo calcular el volumen de un cuerpo irregular? Es decir, la corona no era una esfera perfecta o un cono perfecto, es más, tenía muchos detalles. ¿Qué hacer entonces? ¿Cómo averiguar el volumen de la corona sin dañarla?

Aunque en el episodio de la tina se suele  

representar a Arquímedes  como un anciano,

en realidad para ese entonces él no llegaba 

a 40 años de edad. 

No se sabe cuántos días pasaron después del encargo del rey, lo cierto es que un día Arquímedes fue a bañarse se llevó con él la corona. Se dio cuenta que al meterse en la tina el nivel del agua subía. Entonces pensó: "El espacio que ahora ocupa mi cuerpo estaba ocupado por el agua y al desplazarla ella sube una cantidad que debe ser igual igual al espacio que yo le he quitado". Fue cuando lo tuvo claro: Bastaba meter la corona en un recipiente con agua y medir el volumen de la cantidad de agua que subía… ¡Ese volumen era precisamente el volumen de la corona y sabiendo su peso podía hallar la densidad y saber si era de oro o tenía una mezcla de otra cosa!

Arquímedes salió corriendo por las calles, sin importarle que estaba desnudo, mientras gritaba eufórico: “Eureka, eureka” (“¡Lo encontré, lo encontré!”)

Esta misma idea llevó a Arquímedes a establecer el famoso principio físico que lleva su nombre y que dice así: 

Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja. 

Aplicando este Principio, Arquímedes diseñó un enorme barco con capacidad para 600 personas. El barco se llamó “Siracusia” y en su interior tenía un templo a Afrodita y un gimnasio. El Siracusia debe haber sido el barco más grande de la antigüedad, sólo superado en tamaño por algún otro barco en algún momento del siglo XVIII… 2000 años después. 

El tornillo de Arquímedes es una máquina
altamente eficiente. Es el artilugio más antiguo
que aún no se ha descontinuado. 

Pero una embarcación tan grande requería de un sistema que pudiera achicar el agua que entrara a la sentina. Entonces Arquímedes inventó algo que también lleva su nombre: “El tornillo de Arquímedes”. Este es un artilugio que permite hacer subir el agua desde un nivel más bajo hacia un nivel superior con un mínimo de esfuerzo. El tornillo de Arquímedes aún se usa en el mundo y es quizás la máquina de mayor antigüedad que no se ha descontinuado.

El gran mérito de Arquímedes quizás radica en que fue el primero (que nosotros sepamos) que aplicó la matemática en la resolución de problemas prácticos. En sus tiempos, y desde hacía cuatrocientos años, al menos en Grecia, la matemática era casi una actividad contemplativa, algo profundo, para meditar o simplemente se hacía por el placer de saber. 

Arquímedes vio (y quizás eso le vino por los años que pasó en Egipto) que la matemática podía ayudar a resolver problemas de la vida cotidiana y a mejorar la calidad de vida de la gente. Su invento, el llamado Tornillo de Arquímedes, por ejemplo, era _y es_ una máquina altamente eficiente: Con ella los campesinos, por ejemplo, podían hacer que el agua subiera desde un río hasta sus sembradíos, sin ni siquiera mover la máquina. Aunque había modelos que ameritaban que una persona la manipulara, había otros que aprovechaban la fuerza de la corriente del agua. 

Sus estudios sobre la hidrostática ayudaron a construir mejores barcos y actualmente, cada vez que se fabrica un barco o un avión se están usando conocimientos dados por Arquímedes hace 2200 años.

Algunos de sus conciudadanos se burlaban de él cuando decía: 

_ Dame un punto de apoyo y moveré al mundo. 

Pero no estaba loco, él se refería a la palanca. Todos hemos visto palancas en la vida y lo más probable es que todos hayamos usado alguna. Las carretillas son palancas y hasta los columpios de los parques son palancas. El mismo brazo humano es prácticamente una palanca. 

Una palanca lo que hace es multiplicar la fuerza. No es que Arquímedes las haya inventado, pero le dedicó buena parte de su vida a estudiarlas y construyó algunas realmente asombrosas. Años más tarde, ya siendo un anciano, sus conocimientos sobre la palanca le permitieron construir poderosas máquinas que ayudaron a defender su ciudad contra Roma. 

Al rey Hierón le causaba también gracia eso de “dame un punto de apoyo y moveré al mundo”. Entonces Arquímedes le dijo: 

_ Dispón de un barco, el más grande que tengas. Llénalo de gente, animales y de toda la carga que él pueda contener y que navegue un poco fuera del puerto. Yo, sentado en la playa, con una cuerda, lo moveré hasta el muelle. 

Hierón no quería hacerlo. No quería poner en ridículo a su primo, pero al final accedió. Arquímedes le pidió varios días. En ese tiempo construyó un sistema de poleas en la playa.

Hierón II reinó en Siracusa desde el año
265 a.C.  hasta el año de su muerte (215 a.C) .
Durante su tiranía(1) Siracusa
progresó en todos los sentidos.
Murió a los noventa años.

Llegado el día, el rey, divertido, se sentó en la playa, rodeado de sus colaboradores. Mucha gente se acercó. El barco estaba repleto de personas. Lo alejaron un poco. Arquímedes ató una soga muy resistente al barco, la pasó por su máquina y se sentó en la playa y comenzó a halar con su mano.  

Logró mover el barco hasta el muelle bajo la mirada atónita del rey y de la gente. 

Hierón II supo definitivamente en ese momento que el dinero que la ciudad había gastado para mandar a Arquímedes a estudiar a Alejandría no había sido un gasto sino una inversión. Y al día siguiente emitió un decreto donde estipulaba: “De ahora en adelante todo lo que Arquímedes diga debe ser tenido como verdad”. 

Ciertamente Arquímedes es más conocido por sus inventos que por sus trabajos en matemáticas. Sin embargo, en esta disciplina fue donde más descolló su genio. La aproximación que dio del número pi es la que aún se usa en los cálculos de ingeniería. Dedujo, no se sabe exactamente cómo, que el valor de pi estaba entre 223/71 y 22/7, algo que es totalmente cierto. También demostró que el área del círculo es igual a pi multiplicado por el cuadrado del radio. 

También probó que el área que determina una recta con una parábola es igual a cuatro tercios el área del triángulo inscrito. Todos estos aspectos han llevado a los matemáticos actuales a percatarse que Arquímedes estuvo muy cerca de sentar las bases del cálculo integral. Si hubiese conocido o desarrollado el plano cartesiano, es casi seguro que lo hubiera logrado. Imagínense: El cálculo integral descubierto 200 años antes de Cristo!! El mundo sería otro. También debe haber desarrollado sumas de series infinitas. 

Estableció los principales axiomas de la palanca. Por ejemplo: “Las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos”. Y usa estos principios para calcular áreas, centros de gravedad… 

Arquímedes también intuye la idea (y la comprende) de una curva generada por un punto en movimiento y aplica estos conocimientos a la construcción de la llamada “espiral de Arquímedes” que tiene interesantes propiedades y el diseño que sugiere se usa aún en muchos aparatos mecánicos o electro mecánicos, como por ejemplo, sistemas de aires acondicionados. 

Llega a la conclusión de que una esfera inscrita dentro de un cilindro tiene un área y un volumen que equivale a los dos tercios del cilindro. Era éste el conocimiento del que más se sentía orgulloso y pidió que cuando muriera se dibujara en su lápida una esfera dentro de un cilindro. 

Arquímedes, como ya dijimos, casi llega al cálculo integral. Algunos matemáticos, incluso, dicen que él fue el creador de esta disciplina ya que tuvo la idea, correcta, de que el volumen de un cuerpo podía calcularse a partir de una parte infinitesimal de ese cuerpo con sólo proyectarla en una suma infinita. Así mismo, el uso de Arquímedes del método exhaustivo para hallar el área del círculo o de cualquier figura limitada por curvas no rectas le dio la idea a Newton y a Leibniz, 1700 años después para unificar el cálculo diferencial con el integral.

En la imagen algunos de los aportes de Arquímedes a las matemáticas y la física. Demostró que el área de un segmento de parábola es cuatro tercios el área de un triángulo inscrito en ese segmento.  También demostró que el área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y la longitud de la circunferencia respectivamente. Acotó en forma exacta el valor de pi. Descubrió la curva que lleva su nombre: Espiral de Arquímedes. También demostró que el volumen de una esfera es dos tercios el volumen del cilindro donde ella está inscrita. Esto le permitió deducir la fórmula para el volumen de una esfera. Un poco más y Arquímedes llega al cálculo integral.   

Pero más allá de sus grandes descubrimientos en matemáticas, lo que más intriga es ¿cómo lo hizo? ¿De qué métodos se valió Arquímedes para resolver esos problemas matemáticos? Al parecer él primero dibujaba y dibujaba, concentrado, ajeno a todo lo que sucedía y conjeturaba. Después que hacía la conjetura pasaba a demostrarla. Nada diferente a como se hace hoy día, pero los matemáticos del siglo XXI tienen ahora calculadoras electrónicas, computadoras e instrumentos más precisos. Arquímedes no lo tenía.

Fue esa capacidad para concentrarse y olvidarse de todo que lo hizo no escuchar, años más tarde, al soldado que le decía que lo acompañara ante el general Marcelo. ¿Qué gran descubrimiento estaba haciendo Arquímedes mientras Siracusa ardía por los cuatro costados? Jamás lo sabremos.

Las guerras que enfrentaron a Roma y a Cartago
en los siglos III  y II a.C, obligaron a todas las ciudades
del Mediterráneo occidental a tomar partido
por una o por otra. La guerra concluyó en 146 a.C.
con la derrota definitiva de Cartago.  En  la imagen una
reconstrucción de cómo pudo haber sido Cartago.  

A principios del siglo III a.C. Roma ya había adquirido suficiente fuerza como para llevar a cabo sus planes de dominación del Mediterráneo. Pero una potencia se cruzaba en sus planes. Cartago. Muchas ciudades del sur de Italia, sur de España y en las islas se aliaron a Cartago. Aquellas que se declaraban partidarias de Roma no eran atacadas por ésta pero quedaban casi que sometidas a las decisiones de los romanos. 

En medio de estas guerras, Hierón II, primo de Arquímedes, murió. Él había firmado una alianza con Roma y la debilitada Cartago, ya en una posición defensiva, no los atacó. Hierón murió anciano y le sucedió su nieto, que rompió la alianza con los romanos y se declaró partidario de Cartago. Pero lo mataron poco después, quizás por un complot pagado por Roma. Los romanos pensaron que con su muerte, Siracusa volvería a ser su aliada pero no fue así. Los generales de Siracusa reafirmaron su alianza con Cartago y se prepararon para lo inminente: la guerra con Roma. 

Arquímedes ya era un anciano. Tenía 78 años de edad y seguramente seguía en lo suyo, en lo que le gustaba: las matemáticas. Pero su fama de ingeniero hizo que el ejército le pidiera que construyera máquinas para hacer frente a Roma.

Tal vez era la primera vez, en trescientos años de filosofía y matemáticas griegas que se solicitaba el auxilio de un matemático para que usara sus conocimientos en la guerra. 

Arquímedes es quizás uno de los pocos 

científicos muy presentes en la cultura popular. 

Una caricatura lo muestra “explicándole” 

a su supuesta esposa su famoso principio

(“Un cuerpo sufre un empuje hacia arriba”). 

Ya prácticamente todas las ciudades griegas habían sucumbido ante Roma. Un mundo moría y se imponía el poder de las armas, el pragmatismo y la fuerza. Arquímedes, en ese momento, era prácticamente el único gran filósofo griego que existía. El linaje que había comenzado con Tales de Mileto, trescientos años antes confluía de manera magistral en Arquímedes. Como si tres siglos de pensamiento, de conocimientos estaban concentrados en la mente de aquel anciano de barba blanca, que ahora dirigía la construcción de catapultas, garfios y otras cosas que habían salido de su imaginación usando las matemáticas y basadas en las leyes de la palanca, del movimiento parabólico y de la fuerza. 

La ciencia defendería a Siracusa, bajo la dirección del más grande matemático de la antigüedad, ante el poder bruto de Roma. 

El general Marcelo se dirigió a Siracusa confiado en que sus generales se asustarían y seguirían aliados con Roma. Pero los siracusanos le cerraron las puertas de la ciudad. 

Marcelo inició un primer ataque por tierra pero fue rechazado. Sus barcos llegaron y bloquearon la ciudad por mar, pero los cartaginenses enviaron su flota y los pusieron en retirada. Entonces Marcelo decidió bloquear toda la ciudad. Los rendiría por el hambre. 

Y allí, apareciendo en lo alto de las murallas, con su toga y barba blancas, llegó Arquímedes y comenzó a instruir a los soldados y a dar órdenes sobre el uso de los aparatos que había inventado. Catapultas, escorpiones, garfios que levantaban barcos como si fueran plumas y después los dejaban caer con tal fuerza que los destrozaban. Espejos de bronce muy pulidos con la curvatura exacta para concentrar los rayos del sol en las velas y las incendiaban. 

El general Marcelo no podía creer lo que veía. Un anciano con su ciencia le hacía frente y destruía sus torres de asedio o sus barcos. 

La Grecia clásica caería ante Roma, pero su epílogo era glorioso… Como si el Universo estuviera enseñando a todas las generaciones que el conocimiento es la verdadera fuerza. 

Marco Claudio Marcelo, cónsul de Roma
desde el 222 a.C. Fue el designado para someter 
a Siracusa.  Murió en combate en el 208 a.C. 

Marcelo se percató que las catapultas de Arquímedes eran inoperantes si se acercaba lo suficiente. La única forma era que los siracusanos las colocaran en un lugar más alejado para que las enormes piedras pudieran hacer daño. Pero Arquímedes ya lo había previsto. Conocía del movimiento parabólico e ideó unas catapultas que podían variar el ángulo de lanzamiento. 

Cuando los soldados romanos, en las cubiertas de los barcos o en tierra, veían que se estaba colocando un nuevo aparato en las murallas entraban casi en pánico. 

Durante casi tres años los romanos intentaron apoderarse de Siracusa pero no podían. 

Marcelo comenzó a admirar a Arquímedes. Eso sí tenían los romanos, admiraban el valor y el conocimiento. En lo primero quizás superaron a los griegos pero nunca en lo segundo. 

Cartago no abandonó a Siracusa. Enviaron barcos de guerra y tropas. Los romanos eran atacados por un lado con las máquinas de Arquímedes y el ejército de Siracusa y por el otro los cartagineses. Pero un contingente de romanos, debido a la traición de unos mercenarios, logró entrar en una parte de la ciudad y ésta poco a poco fue cayendo. Al final sólo la isla de Ortigia, el núcleo donde se había fundado Siracusa 700 años antes, ún resistía. Allí era donde estaba el grueso de las máquinas de Arquímedes. Cuando los romanos las vieron destruyeron muchas. 

Arquímedes, como solía hacer cuando se le ocurría alguna idea, se había encerrado en su casa a estudiar, a hacer cálculos. Ya la ciudad ardía. Tropas de refuerzo que Cartago había prometido no llegaron y los mercenarios españoles que la ciudad había contratado se rindieron y otros huyeron. Siracusa estaba perdida. En el Teatro de la ciudad 15000 personas se habían refugiado para orar a los dioses pero sus plegarias fueron en vano. 

La ciudad de Siracusa en la actualidad. En primer plano la isla de Ortigia, el enclave original. Según la leyenda fue  fundada por el troyano Eneas en el año 734 a.C.   La posición de Siracusa era demasiado estratégica como para que los romanos no se fijaran en ella. 

Marcelo entró a la ciudad y juró que aquel que matara a Arquímedes lo pagaría con su vida. Que no lo tocaran. 

En medio del pillaje un soldado entró a la casa de Arquímedes y éste estaba absorto, en el suelo, dibujando unos círculos. 

_ ¿Eres Arquímedes, anciano? 

“Si uno el radio de este círculo, con el eje de simetría de esta parábola y divido la longitud del eje mayor entre pi, debo obtener la longitud del eje menor”. – Quizás pensaba Arquímedes mientras seguía dibujando. 

_ Te estoy hablando, anciano. ¿Eres al que llaman Arquímedes? 

“Ahora bien, si multiplico el eje mayor de la hipérbola determinada por estos arcos de circunferencia por el radio quizás obtengo el área del círculo”. 

En ese momento el soldado da un paso adelante y borra con su pie los dibujos. 

_ ¡¡Te estoy hablando, viejo!! 

Arquímedes se levanta y se le va encima. 

_ ¡No molestes mis círculos! 

El soldado quizás por acto reflejo o con toda intención lo traspasó con su espada.

Así moría el último gran matemático de la antigua Grecia. 

Así moría un mundo… 

Se dice que Marcelo lloró sobre el cuerpo de Arquímedes y dio la orden expresa de que lo enterraran y que en la lápida tallaran lo que Arquímedes había pedido en su testamento: Una esfera dentro de un cilindro.

La imagen de la escena del soldado conminando a Arquímedes a que lo acompañe y que todos sabemos que termina en la muerte del genial siracusano casi que forma parte del inconsciente colectivo y tiene una gran carga simbólica: El poder de la fuerza bruta, impulsiva e irracional arremetiendo contra la concentración y la calma de la sabiduría. 

Fue ésta lápida la que encontró el escritor romano Cicerón, 140 años después, y supo inmediatamente que allí estaban los restos del genial Arquímedes. Lamentablemente con el paso del tiempo volvió a perderse la tumba. 

Algunos textos de Arquímedes se salvaron en el gran incendio de la Biblioteca de Alejandría en el año 40 a.C. La historia de uno de ellos es apasionante y llega hasta nuestros días… 

Y merece ser contada…  

Después.

La vida, obra y triste muerte de Arquímedes, quien fallece junto con su patria siempre ha conmovido. Si bien siguieron naciendo grandes matemáticos en el mundo greco-romano hasta 400 años después de la muerte de Arquímedes, no cabe duda de que algo murió con la muerte del siracusano en el 212 a.C. No es osado decir que Arquímedes cerró con un epílogo glorioso cuatrocientos años de ciencia, filosofía y matemática griegas.  (Busto de Arquímedes del escultor Luciano Campisi, en Siracusa). 

Notas: 

1. Un tirano (de una palabra griega que significa "señor" o "soberano") era alguien que detentaba el poder pero que lo había obtenido por la fuerza. El vocablo no tenía el sentido peyorativo que ahora tiene. hay que aclarar que hubo "tiranos" muy justos y eficientes.