¿Quieres hacer algo que nadie ha hecho y que nadie hará por toda la eternidad?

La baraja española, al igual que la inglesa y también el dominó, son excelentes recursos didácticos para explicar cuestiones de la teoría combinatoria o la probabilidad. 

Antes de decirles qué es lo que pueden hacer que nadie ha hecho tengo que hablarles primero de matemáticas, específicamente de la teoría combinatoria. Si no es posible que quizás no logren entender lo que significa eso que nadie ha hecho nunca. 

La teoría combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia la forma cómo pueden organizarse u ordenarse las cosas. A ella no le interesa la naturaleza de esas cosas sino cómo se pueden ordenar de acuerdo a algunas reglas.  

En esta teoría hay que distinguir entre variaciones y combinaciones. En las variaciones el orden importa o influye. Por ejemplo, ordenar los dígitos del número 357 de otra manera se obtendrá otro número, por ejemplo el 573. En las combinaciones no importa o no influye el orden. Por ejemplo, si Pedro, Martha y Luisa forman un equipo para hacer una tesis y están sentados en ese orden, si los cambio, por ejemplo, Luisa, Martha y Pedro, sigue siendo el mismo equipo, el orden en que ellos estén no importa. Esto es una combinación.  Existen las variaciones con repetición y las combinaciones con repetición. Por ejemplo, si me dicen: ¿Cuántos números pueden formarse con los dígitos 4 y 6?  Esto es una variación con repetición. Los números que pueden formarse son: 46, 64, 44 y 66. Si me preguntan:  Los dígitos 5-4-8 ¿Cuántos números se obtienen si se permutan? Esto es una variación sin repetición. Los números son: 548, 584, 458, 485, 854 y 845. 

Observa este otro ejemplo: 

¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos 481?

Es una variación porque al cambiar el orden de los números influye en el resultado; y es con repetición. Los números de dos cifras que pueden formarse son: 48, 84, 41, 14, 81, 18, 44, 88 y 11: Nueve números.    

Cada una de estas operaciones tiene su fórmula. Son las siguientes: 

Las fórmulas básicas de la combinatoria. n es la cantidad de elementos y k es la cantidad de veces que se toman.  En nuestro ejemplo del número 481, n=3 (porque son tres dígitos: 4, 8 y 1) y k=2 (porque se toman de dos en dos). Observa que al aplicar la fórmula: n^k obtenemos 9: 3^2=9.   

El símbolo ! después de un número es el símbolo de factorial. Significa que hay que multiplicar el número por el que le antecede y eso por el que le antecede a éste y así sucesivamente hasta el 2. Por ejemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2=120.  (5! se lee: 5 factorial). 

Bien, esto no es todo lo que puede decirse sobre la combinatoria, pero es suficiente para entender algo realmente asombroso. Ustedes seguramente conocen la baraja española: 40 cartas, agrupadas en cuatro grupos (llamados “palos”): oros, bastos, copas, espadas con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12 en cada grupo. 10, 11 y 12 son figuras y se llaman sotas, caballos y reyes. La pregunta es: ¿De cuántas maneras se pueden colocar estas cartas sobre una mesa?, es decir, ¿cuántas “barajeadas” diferentes pueden hacerse? 

Por ejemplo, se tomaron las cartas, se barajearon y se colocaron en una mesa una por una, Quedaron así: 

Después de leer todo este artículo sabrás por qué este orden de las cartas es muy pero muy probable que nunca se haya dado y que nunca se dé.  

¿Cuántas posiciones más son posibles? Toma en cuenta que intercambiar de lugar dos cartas ya es otra «barajeada».  Si empiezas a analizar y ves que son 40 cartas seguro sabrás que el número de barajeos posibles es muy grande... Pero no te imaginas qué tan grande. 

Veamos. Ya antes les hablé de las permutaciones. Quizás has oído esa palabra en el campo de las loterías. Permutar un número de tres cifras, por ejemplo, es escribirlo así. Supongamos que es el 578. Entonces todas sus permutas son: 578, 587, 875, 857, 758 y 785. Son seis solamente. Esto se resuelve así: 

3! = 3 x 2 =6. 

Es decir, el factorial de 3 (porque el número 578 tiene tres cifras). Si fuera un número de siete cifras, por el ejemplo el 2.345.678, la cantidad total de sus permutas son: 7! =7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2=5040. 

Quizás ya sabes lo que debe hacerse con el problema de las cartas. Si has pensado que debemos obtener el factorial de 40 estás en lo cierto. 

40! = 40x39x38x37x36x35x34x33x32x31x30x29x28x27x26x25x24x23x22x21x20… y así hasta llegar al 2. 

Las calculadoras caseras no tienen suficiente memoria para expresar ese número (ni espacio en su pantalla). Usando Worfram online obtengo: 

815.915.283.247.897.734.345.611.269.596.115.894.272.000.000.000

Nos ahorraremos la lectura de ese número, pero redondeado se lee ocho octillones. 

Esa es la cantidad de posibles barajeos de las cartas españolas. 

Pero no podemos hacernos una idea de lo grande que es esa cantidad a menos que lo comparemos con algo. 

Si se toman todas las cuarenta cartas que forman cada una de esas combinaciones y se colocan una encima de la otra ¿crees que la torre llega a La Luna? ¿A Plutón? ¿A la estrella Sirio?... No, te quedas corto. La torre de cartas será doce trillones de veces más grande que el Universo conocido!!!! Es decir, la torre de cartas no cabría en este Universo. Tendría que nuestro Universo ser doce trillones de veces más grande de lo que es para que esa torre de cartas quepa en él de extremo a extremo. ¿Que no entiendes aún porque no te imaginas qué tan grande es le Universo? Pues bien, para atravesar el Universo de punta a punta a la velocidad de la luz (300.000 Km/seg) te tardarías quince mil millones de años. 

Vamos a verlo de otra forma: Supongamos que se le entrega a cada habitante del planeta (seis mil millones de personas) un mazo de estas cartas y se les pide que las barajen durante tres segundos. Se producirán, obviamente seis mil millones de barajeos. ¿Cuántas «barajeadas» debe hacer cada uno para cubrir el total de variaciones posibles? 

135.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 barajeadas. 

Si cada barajeo tarda tres segundos entonces todos los habitantes del planeta se tardarían (para hacer todos los barajeos posibles) una cantidad de años que es 200 trillones de veces más que la edad del Universo, es decir, 200 trillones por quince mil millones de años!!!!

¿A efectos prácticos qué nos dice todo esto? Que cuando alguien baraja las cartas españolas obtiene una ordenación nunca antes vista y que con casi total seguridad no volverá a repetirse nunca. 

Por ejemplo, La combinación que está arriba, en la imagen, es única. Aunque todo el Universo conozca las cartas españolas, nadie ha hecho una imagen como esa. Es primera vez que se hace. 

De modo que si quieres hacer algo único. Algo que nadie ha hecho en toda la historia y algo que quizás nadie haga en toda la eternidad, agarra un mazo de cartas españolas y barájalas. La combinación que saldrá es muy pero extremadamente muy posible que sea la primera vez que sucede y posiblemente sea la última. Entonces, habrás hecho algo que nadie más ha hecho y nadie más hará por los siglos de los siglos.