"Algo extraño sucede con los números primos"

"Puede que Dios no juegue a los dados con el Universo, pero algo extraño sucede con los números primos"

Paul Erdos

Desde los inicios mismos del pensamiento racional se ha creído firmemente que todo en el Universo es determinista, es decir, todo sucede por una causa (que puede medirse o analizarse) y una causa que produce un resultado producirá siempre ese mismo resultado.

Este principio ha impregnado la ciencia desde tiempos inmemoriales. Fue quizás Heisenberg el primero en teorizar que el Universo no es determinista sino todo lo contrario, es indeterminista; lo cual es casi como decir que todo es simplemente una probabilidad. El Universo sería un evento, algo que pudo o no pudo suceder (como lanzar un dado y que salga o no salga el seis. Eso es un evento). 

Si estos científicos tienen razón, y pareciera que los avances de la física cuántica así lo demuestran, entonces todo lo que sucede puede definirse en función del azar. Albert Einstein era determinista y se oponía a esta teoría. Él popularizó la frase: “Dios no juega a los dados con el Universo”. (No significa necesariamente que Einstein creía en Dios. Fue sólo una manera de él expresar su desacuerdo con el indeterminismo).

"Dios no juega a los dados con el Universo".
Con esta frase Einstein resumía
su oposición al indeterminismo. 

En la quinta conferencia Solvay, realizada en Bruselas en 1927, el científico Niels Bohr, seguidor del indeterminismo, le contestó a Einstein: “Señor Einstein, deje de decirle a Dios qué hacer con sus dados”. 

Digo esto antes de hablarle de los números primos, porque si hay algo donde pareciera que no hay un patrón, donde pareciera que existe el azar más puro, es precisamente con ellos. 

Un número primo es aquel que sólo es divisible en forma exacta por 1 o por el mismo número. Por ejemplo, el 13 es primo, ya que las únicas divisiones exactas de ese número son 13 entre 1 y 13 entre 13. En cambio, 10 no es primo, es compuesto, ya que él se puede dividir entre 1, 2, 5 y 10, con lo cual tiene cuatro divisores, es decir, más de dos. En resumen un primo es aquel que tiene sólo dos divisores. El 1 y el mismo número. Los primeros diez primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23, y 29. Es importante mencionar que todos los primos, excepto el 2, son impares, pero no todos los impares son primos. Esto es fácil de entender: Todos los caleños son colombianos, pero no todos los colombianos son caleños. 

Fue Euclides, un matemático que vivió hace 2300 años el primero, que se sepa, que demostró que los números primos son infinitos. Esta es la primera extraña característica de estos números: Mientras más alto es un número mayor probabilidad debe existir de que tenga más de dos divisores; pero no, puedes imaginarte el número más grande, y quizás es primo. No existe el último número primo (sólo sabemos que existe el primero: el 2, que por cierto, como ya mencionamos, es el único primo que es par). 

Euclides demostró que los primos son infinitos.
Imagen: Euclides según un dibujo renacentista. 

No hay ni ha habido ningún matemático que no sienta una atracción por los números primos, y a veces es hasta enfermiza. Es que aquel que descubra el patrón _que se sospecha que ellos tienen_  tiene asegurado, para siempre, su nombre en la historia. 

Pero no, parece que no tienen un patrón. Todo en ellos es caos, como si fueran infinitos soldados dispersos: uno por aquí, dos por allá, luego un espacio vacío que se extiende decenas de kilómetros y otro soldado, solitario, y caminas 100 pasos y te encuentras dos más. 

Hay muchas conjeturas con respecto a los primos, por ejemplo, existen los primos gemelos, que son aquellos que tienen un par entre ellos, por ejemplo el 3 y el 5 son primos gemelos, también lo son el 11 y el 13 y el 17 y el 19. ¿Hay infinitos primos gemelos? No se sabe. 

Tres cosas principales sabemos de los primos: 1) Son infinitos. 2) Son todos impares menos el 2. 3) Todos los primos mayores que 2 terminan en 1, 3, 7 ó 9. Esto último nos permite saber fácilmente si un número cualquiera no es primo, por ejemplo, el 125.456 no es primo, porque no termina ni en 1, ni en 3 ni en 7 ni en 9. El 345.673 quizás sea primo, porque termina en 3. (He verificado y sí lo es. Esta página http://es.numberempire.com/ te da las propiedades de cualquier número. No verifiqué cuál es el máximo número que permite) 

Hay otra cosa que sabemos de los primos y quizás es la más importante. Se le conoce como Teorema Fundamental de la Aritmética. Es este: Todo número compuesto puede descomponerse como el producto de dos o más primos. Dicho de otra manera, cualquier número no primo es el resultado de multiplicar dos o más primos (Iguales o diferentes). Por ejemplo, el 10 es 2 x 5, el 20 es 2 x 2 x 5, el 45 es 3 x 3 x 5. 

Hay otra conjetura para la cual hay un premio de 20 millones de dólares (por parte del Instituto Clay  de los Estados Unidos de América) para quien demuestre que es falsa o cierta. Se le conoce como Conjetura de Goldbach, por Christian Goldbach un matemático que vivió hace casi 400 años. El conjeturó que todo número par es la suma de dos primos. Por ejemplo, el 8 es par, y tenemos que 3+5=8. El 12 es par y tenemos que 5+7=12 y el 30 es par y tenemos que 23+7=30. Esto pareciera que es verdad para dos pares cualquiera, pero no está demostrado. 

Vamos a resumir lo que sabemos de los primos: 

1) Son infinitos (gracias, Euclides).

2) Todo primo (excepto el 2) está en el medio de dos pares. 

3) Ningún primo es potencia de ningún entero. Esto es casi evidente. Supón que z^n = p y p es primo. Entonces p tiene como divisores a 1, a p y a z, con lo que tiene tres divisores, por lo tanto p no es primo. 

4) La división de dos primos nunca da exacta.

5) El producto de dos primos siempre es impar (a menos que uno de ellos sea el 2).

6) El único primo par es el 2. 

7) El menor de los primos es el 2. 

8) El único primo que termina en 5 es el propio 5. 

9) Todos los primos, excepto el 2 y el 5, terminan en 1, 3,7 ó 9. 

10) 2 y 3 son los únicos primos continuos que existen.

11) Todo número impar mayor que 5 es la suma de tres números primos. (Conjetura débil de Goldbach, demostrada en 2013). Por ejemplo, el 21 es impar y es la suma de 3+7+11 

Para finalizar, el último primo conocido tiene más de 22 millones de dígitos. Fue descubierto en enero de 2016 por Curtis Cooper, un matemático de la Universidad de Missouri. Es un número que no puede leerse ni tampoco vale la pena hacerlo. Aunque estos números extremadamente altos no tienen aplicación práctica su búsqueda y hallazgo (con ordenadores) llena de satisfacción a quien lo logra y pone a prueba la capacidad de las computadoras modernas.

Curtis Cooper de la Universidad Central de Missouri, usando un potente ordenador encontró el que es hasta ahora el primo más grande (en la imagen). 

En fin, puede que el Universo sea determinista. Puede ser que Einstein tenía razón y Dios no juega a los dados con el Universo, pero algo extraño pasa con los números primos. 

Anexo: 

La Criba de Eratóstenes. 

Eratóstenes, el mismo que logró medir con pasmosa exactitud la circunferencia de La Tierra fue un matemático y filósofo nacido en Cirene. Él fue Director de la Biblioteca de Alejandría, ciudad donde vivió y enseñó. Para enseñarle los primos a sus jóvenes discípulos ideó lo que se conoce como la Criba de Eratóstenes. Vamos a hacer una con los números del 1 al 100 (puedes hacerla más grande si quieres). 

Ahora tachamos el 1, y todos los pares menos el 2 , es decir tachamos todos los números de dos en dos contando desde el 2 (pero sin tachar éste). La criba va quedando así: 

Ahora tachamos todos los números de tres en tres, contando desde el 3 pero sin tachar éste. Y después de eso tachamos todos los números de cinco en cinco contando desde el 5 sin tachar el 5. Lo mismo hacemos con el 7 (de siete en siete). En nuestra criba de 100 números una vez tachados los de siete en siete (el último número tachado debe haber sido el 91) ya hemos terminado. Todos los números que quedaron sin tachar son primos. Observa que sólo basta con tachar el 1 y a partir de allí tachar los múltiplos de números primos

Todos los primos (los que están en fondo amarillo) comprendidos entre 1 y 100. Observa que su secuencia pareciera ser azarosa.